Chủ đề này có 4 trả lời

[wjzhweo]

Tìm Min của P = $\frac{a^{3}}{1+b} + \frac{b^{3}}{1+a}$ với a,b>0 và a.b = 1

MOD: Lần sau gõ nội dung vào bài. Còn tái phạm sẽ xóa không báo trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-02-2012 - 23:10

[Katyusha]

Mình dùng Cauchy-Schwarz dạng phân thức nên hơi dài

$P=\dfrac{a^4}{b+ab}+\dfrac{b^4}{a+ab}\ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b+2ab}$
Ta đưa bài toán về chứng minh:
$\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b+2ab} \ge 1$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2 \ge a+b+2ab$
$\Leftrightarrow a^4+b^4 +2a^2b^2 \ge a+b +2ab$
$\Leftrightarrow a^4+b^4 \ge a+b $ do $ab=1$

Bây giờ sử dụng AM-GM:
$a^4+a^4+a \ge 3a^3$
$b^4+b^4+b \ge 3b^3$
$\Rightarrow 2(a^4+b^4)+a+b \ge 3(a^3+b^3)$
Lại có:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b) = a+b$

Nên ta có: $2(a^4+b^4)+a+b\ge 3(a+b)$ và từ đó suy ra DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 29-02-2012 - 11:54

[NLT]

Mình thấy cách giải của bạn 'Katyusha' khá hay, nhưng mình cũng có một cách giải khác, không dùng Cauchy-Schwartz,....

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\begin{array}{l}
\,\,\,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} + \frac{{1 + b}}{4} + \frac{1}{2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{a^3 }}{{1 + b}}.\frac{{1 + b}}{4}.\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}a \\
\Rightarrow \,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} \ge \frac{3}{2}a - \frac{{1 + b}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{3}{4} \\
\end{array}$ (1)
Tương tự, ta cũng có :

$\frac{{b^3 }}{{1 + a}} \ge \frac{3}{2}b - \frac{1}{4}a - \frac{3}{4}$ (2)
Cộng (1),(2) vế theo vế,ta được:

\[
\begin{array}{l}
\,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} + \frac{{b^3 }}{{1 + a}} \ge \left( {\frac{3}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{3}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{2}b - \frac{1}{4}a - \frac{3}{4}} \right) \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\frac{5}{4}(a + b) - \frac{3}{2} \ge \frac{5}{4}.2\sqrt {ab} - \frac{3}{2}(AM - GM) = \,1\, \\
\end{array}
\] (vì ab=1)
Vậy Min P=1 khi a=b=1

Mong các bạn góp ý, nhận xét

[wjzhweo]

Mình cũng đã tìm ra cách CM từ đầu đến chỗ này $a^{4} + b^{4} \geq a + b$ . Mình nghĩ chỗ này là hiển nhiên có vì a,b đều dương và a.b = 1 mà !
Bạn sử dụng AM-GM để CM cũng rất hay ! thx bạn katyusha

Với cách làm của princeofmathematics mình thấy cũng ko phải dể khi nghĩ ra dùng AM-GM với 3 hạng tử như thế (mình đoán bạn chọn điểm rơi để suy ngược ra). Mình ko rành lắm về cách chọn điểm rơi, nếu có thể bạn nói rõ hơn dc ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-02-2012 - 23:15

[Ispectorgadget]

Mình cũng đã tìm ra cách CM từ đầu đến chỗ này $a^{4} + b^{4} \geq a + b$ . Mình nghĩ chỗ này là hiển nhiên có vì a,b đều dương và a.b = 1 mà !
Bạn sử dụng AM-GM để CM cũng rất hay ! thx bạn katyusha

Nếu hiển nhiên như thế này thì phải chứng minh đó bạn.

Với cách làm của princeofmathematics mình thấy cũng ko phải dể khi nghĩ ra dùng AM-GM với 3 hạng tử như thế (mình đoán bạn chọn điểm rơi để suy ngược ra). Mình ko rành lắm về cách chọn điểm rơi, nếu có thể bạn nói rõ hơn dc ko?

tài liệu về kĩ thuật chọn điểm rơi trên mạng không thiếu.