Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Xét hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục sao cho ${f^3}(x) + 2f(x) = x$. Tính $\int\limits_0^3 {f(x)dx} $.

[fghost]

Bài toán: Xét hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục sao cho ${f^3}(x) + 2f(x) = x$. Tính $\int\limits_0^3 {f(x)dx} $.

Lấy đạo hàm bậc 1, biến x của điều kiện, sau đó nhân f(x) vào 2 bên, ta được
$$3f^2(x)*f'(x)+2f'(x)=1 \Rightarrow 3f^3(x)f'(x)+2f(x)f'(x)=f(x)$$
Do đó
$$\int {f(x)d(x)}= \int {3f^3(x)f'(x)dx}+\int {2f(x)f'(x)dx}= \frac{3}{4} f^4(x)+f^2(x)$$
Gọi $f(3)=u$ và $f(0)=v$
$$\int_0^3 {f(x)dx}=\frac{3}{4} u^4+u^2 - \frac{3}{4} v^4 - v^2$$
Thế $x=0$ và $x=3$ vào điều kiện, ta được $u^3+2u=3$ và $v^3+2v=0$. Vì f lấy giá trị thực, nên thu được $u=1$ và $v=0$
Do đó
$$\int_0^3 {f(x)dx}=7/4$$
Vì hàm f liên tục trên [0,3] và rõ ràng không thể là hàm hằng 0, nên việc nhân f(x) vào đẳng thức ở đầu bài toán không bị ảnh hưởng bởi giá trị của f(x) tại x=0 (ít nhất là đối với việc tính tích phân)

[fghost]

nếu hàm f không khả vi mà chỉ liên tục, thì có giải được không bạn xusinst?