Chủ đề này có 8 trả lời

[longnguyen171]

Cho $x,y,z > 0$ và $x+y+z\leq 1$
Tìm min của $F=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

[Crystal]

Cho $x,y,z > 0$ và $x+y+z\leq 1$
Tìm min của $F=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

Đây là đề thi Đại học khối A năm 2003.

Bạn xem ở đây: http://diendantoanho...l=&fromsearch=1

[longnguyen171]

Em học không tốt bất đẳng thức lắm. Em có thể giải như thế này không ạ ?
F min khi cả 3 công thức trên đạt min.
Do $x,y,z$ có vai trò tương đương nhau nên => $0<x\leq \frac {1}{3}$
Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}$
Đạo hàm $f(x)$
$f'(x)=\frac{x-\frac{x}{x^4}}{2\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}$
$f'(x)=0$
=> $x=1$ không thuộc $(1;\frac{1}{3}]$
Tính $f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{82}}{3}$
Tương tự => min F= $\sqrt{82}$

[thaomta]

em giải như thế là sai rồi. vì em đã ép cho cả x, y, z đều thuộc (0; 1/3]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaomta: 06-03-2012 - 17:45

[thaomta]

Bài này có rất nhiều cách giải, chỉ đơn thuần dùng BDT côsi cũng được. Hoặc kết hợp Côsi và Bunhi hoặc phương pháp hàm số. hoặc phương pháp tiếp tuyến.

[caoduylam]

Áp dụng bất đẳng thức A - G, ta được:
${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \ge \sqrt 2 $
Tương tự:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \ge \sqrt 2 }\\
{\sqrt {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \ge \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$
Từ đó, ta có:
$F \ge 3\sqrt 2 \Rightarrow {F_{\min }} = 3\sqrt 2 $
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$
Nhờ mọi người xem giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caoduylam: 06-03-2012 - 17:57

[Crystal]

Áp dụng bất đẳng thức A - G, ta được:
${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \ge \sqrt 2 $
Tương tự:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \ge \sqrt 2 }\\
{\sqrt {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \ge \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$
Từ đó, ta có:
$F \ge 3\sqrt 2 \Rightarrow {F_{\min }} = 3\sqrt 2 $
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$
Nhờ mọi người xem giúp.

Lời giải của bạn đã sai.

Nếu áp dụng BĐT Cauchy như cách của bạn thì dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$. Khi đó $x+y+z=3$ trái với giả thiết $x + y + z \le 1$

FALSE!

[Crystal]

Ta có: $\left( {x + y + z} \right)^2 + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2 = 81\left( {x + y + z} \right)^2 + \left({\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2 - 80\left( {x + y + z} \right)^2 $
$\ge 18\left( {x + y + z} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 80\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 162 - 80 = 82$
Vậy $VT \ge \sqrt {82} $
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \dfrac{1}{3}$.

P/S: Bài này có nhiều cách giải khác.

Giới thiệu một cách nữa
Áp dụng BĐT Minkowski, ta có
$$\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \ge \sqrt {{{(x + y + z)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{(x + y + z)}^2} + \frac{{81}}{{{{(x + y + z)}^2}}}} $$
$$ = \sqrt {{{(x + y + z)}^2} + \frac{1}{{{{(x + y + z)}^2}}} + \frac{{80}}{{{{(x + y + z)}^2}}}} \ge \sqrt {2 + \frac{{80}}{{{{(x + y + z)}^2}}}} \ge \sqrt {82} $$

Áp dụng AM-GM ta có

$ A=\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}}\ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})} $.

Ta có

$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\underset{81}{\underbrace{\dfrac{1}{81x^{2}}+\dfrac{1}{81x^{2}}+...+\dfrac{1}{81x^{2}}}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}x^{160}}} $.

Tương tự

$ y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}y^{160}}} $.
$ z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}\geq 82\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{81}z^{160}}} $.

$ \Rightarrow A=\sqrt{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}} $
$ \ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})} $
$ \geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}} $

Theo giả thiết thì $x+y+z\leq 1\Rightarrow xyz\leq\dfrac{1}{27}$

$ \Rightarrow 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}}\geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(\dfrac{1}{27})^{160}}}}=\sqrt{82} $.

$ \boxed{A\ge 3\sqrt[6]{(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}})(z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}})}\geq 3\sqrt[6]{82^{3}\sqrt[82]{\dfrac{1}{81^{243}(xyz)^{160}}}}\geq\sqrt{82}} $.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z= \dfrac{1}{3}$.

[Ispectorgadget]

Đây là cách dùng KSHS
Do $x+y+z\le1$ và x,y,z dương nên $;x,y,z\in(0;1)$
Xét hàm số $h(t)=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}+\frac{40\sqrt82}{41}t,\forall t\in(0;1)$
Ta có: $h'(t)=\frac{t^4-1}{t^2\sqrt{t^4+1}}+\frac{40\sqrt{82}}{41}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\in(0;1)$
Kẻ bảng biến thiên ta được $h(\frac{1}{3})=\frac{27\sqrt{82}}{41}$
Từ bảng biến thiên $h(t)\ge \frac{27\sqrt{82}}{41}\forall t\in(0;1)$$\Leftrightarrow \sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}\geq -\frac{40\sqrt{82}}{41}t+\frac{27\sqrt{82}}{41}\forall t\in(0;1)$
Thay t lần lượt bởi x,y,z cộng lại ta có $F\geq -\frac{40\sqrt{82}}{41}(x+y+z)+\frac{81\sqrt{82}}{41}\geq \sqrt{82}$