Chủ đề này có 3 trả lời

[minhhieu070298vn]

Tìm x,y,z là các số nguyên dương:
$x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2$

[thukilop]

$x^{4}+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2$
<=> $2x^4+4x^3+6x^2+4x+1=2y^2+2y+1$ (khai triển bình thường thôi)
<=>$x^4+2x^3+3x^2+2x=y^2+y$
Vì x, y nguyên dương nên ta có
$y^2< y^2+y< y^2+2y+1$
hay $y^2< y^2+y< (y+1)^2$
=> $y^2< x^4+2x^3+3x^2+2x < (y+1)^2$ (1)
Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào do đó (1) không tồn tại
=> pt vô nghiệm nguyên (với x,y nguyên dương)

p/s: có gì thiếu sót,mong mọi người góp ý cho:D

[perfectstrong]

$x^{4}+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2$
<=> $2x^4+4x^3+6x^2+4x+1=2y^2+2y+1$ (khai triển bình thường thôi)
<=>$x^4+2x^3+3x^2+2x=y^2+y$
Vì x, y nguyên dương nên ta có
$y^2< y^2+y< y^2+2y+1$
hay $y^2< y^2+y< (y+1)^2$
=> $y^2< x^4+2x^3+3x^2+2x < (y+1)^2$ (1)
Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào do đó (1) không tồn tại
=> pt vô nghiệm nguyên (với x,y nguyên dương)

p/s: có gì thiếu sót,mong mọi người góp ý cho:D

$x^4+2x^3+3x^2+2x$ đâu phải khi nào cũng là số chính phương?

[perfectstrong]

Giải thế này chuẩn hơn:
Lời giải:
\[\begin{array}{l}
{x^4} + {\left( {x + 1} \right)^4} = {y^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \\
\Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 1 = {y^2} + y + 1 \\
\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {y^2} + y + 1 \\
\end{array}\]
Do $x,y \in \mathbb{N}^*$ nên
\[{y^2} < {y^2} + y + 1 < {\left( {y + 1} \right)^2} \Rightarrow {y^2} < {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} < {\left( {y + 1} \right)^2}\]
Điều này vô lý nên pt đã cho vô nghiệm nguyên dương.