Chủ đề này có 1 trả lời

[phiho]

Hãy đổi thứ tự lấy tích phân và giải:$\int_{0}^{2}dx\int_{\sqrt{2x-x^{2}}}^{\sqrt{2x}}f(x,y)dy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phiho: 14-03-2012 - 19:25

[Crystal]

Hãy đổi thứ tự lấy tích phân và giải:$\int_{0}^{2}dx\int_{\sqrt{2x-x^{2}}}^{\sqrt{2x}}f(x,y)dy$

Ta có miền D xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 2\\
\sqrt {2x - {x^2}} \le y \le \sqrt {2x}
\end{array} \right.$

* ${y^2} = 2x - {x^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\left( C \right)$

* ${y^2} = 2x\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right)$

Như vậy miền D giới hạn bởi đường tròn tâm $I(1;0)$ bán kính bằng $1$ và parabol $(P)$ đi qua điểm $A(2;2)$ (bạn vẽ hình ra cho dễ nhìn nhé)

Ta có: $\left( C \right) \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt {1 - {y^2}} ;\left( P \right) \Rightarrow x = \frac{{{y^2}}}{2}$

Chia miền D thành 3 miền con:

$${D_1}:\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{y^2}}}{2} \le x \le 1 - \sqrt {1 - {y^2}} \\
0 \le y \le 1
\end{array} \right.;\,\,{D_2}:\left\{ \begin{array}{l}
1 + \sqrt {1 - {y^2}} \le x \le 2\\
0 \le y \le 1
\end{array} \right.;\,\,{D_3}:\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{y^2}}}{2} \le x \le 2\\
1 \le y \le 2
\end{array} \right.$$
Khi đó:
$$\int\limits_0^2 {dx} \int\limits_{\sqrt {2x - {x^2}} }^{\sqrt {2x} } {f\left( {x;y} \right)dy} = \iint\limits_{{D_1}} {f\left( {x;y} \right)}dxdy + \iint\limits_{{D_2}} {f\left( {x;y} \right)}dxdy + \iint\limits_{{D_3}} {f\left( {x;y} \right)}dxdy$$
Đến đây bạn tính từng cái thì đơn giản rồi.