__________________________________________________________________________
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
____________
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho biểu thức:
$P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$ với $x \in [-1;1]$
Tính giá trị biểu thức P với $x=\frac{-1}{2012}$.
Câu 3: (3,0 điểm)
Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn:
$(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$
Câu 4: (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol (P): $y=x^2$ và hai điểm A(-1;1). B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ($-1<m<3$). Tìm m để diện tích tam giác ABM lớn nhất.
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P.
a) Chứng minh: $\frac{AI}{AN}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CN} =2$.
b) Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \leq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.
Câu 6: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp (O;R). Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$.
Câu 7: (2,0 điểm)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x, y \in R$ và $0 \leq x,y \leq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
--- Hết---
Họ và tên thí sinh:.............................. Số báo danh:........
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 16-03-2012 - 19:55