Chủ đề này có 6 trả lời

[minhson95]

cho a,b,c>0 CMR:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c}$

[phantomladyvskaitokid]

cho a,b,c>0 CMR:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c}$

Gs $c=min\left \{ a, b, c \right \}$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} =\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}+3$

CM $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c}$

$\Leftrightarrow CM: \left [ \frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)} \right ](a-b)^2+\left [ \frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c)(a+b)} \right ](a-c)(b-c) \geq 0 (true)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 20-03-2012 - 20:27

[phantomladyvskaitokid]

TQ:

cho a,b,c,k>0 CMR:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{kb+c}{kc+a}+\dfrac{kc+a}{ka+b}+\dfrac{ka+b}{kb+c}$

[minhson95]

mình không hiểu cách giải lắm bạn giải thích cho mình với

sao lại giả sử $c=min{a,b,c}$ là cái gì

và dòng biến đổi cuối cùng nữa. mình không hiểu chỗ đó!

[minhson95]

Thảm khảo cách khác ở đây nhé
c=min {a,b,c} là giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số

2 bài đó khác nhau mà.

mình biến đổi bài $\sum (\dfrac{a+2012}{b+2012})$ thì ra được.

còn bài này mình không hiểu phantomladyvskaitokid biến đổi kiểu gì ra dòng cuối cùng.

bạn giải thích hộ mình với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 21-03-2012 - 22:04

[minhson95]

mình ra bài này rồi!

BDT $\leftrightarrow \dfrac{a+b}{b}+\dfrac{b+c}{c}+\dfrac{c+a}{a} \geq \dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+c} +3$

$\leftrightarrow \dfrac{(a+b)c}{b(b+c)}+\dfrac{(b+c)a}{c(c+a)}+\dfrac{(c+a)b}{a(a+b)} \geq 3$

theo AM-GM cho 3 số thì VT $\geq 3$ (đpcm)

[nguyenthuan]

Do $\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}=\frac{ca}{b\left ( b+c \right )}$ va $\frac{c}{b+c}=1-\frac{b}{b+c}$ suy ra bdt
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )}+\frac{c^{2}+ab}{c\left ( c+a \right )}+\frac{a^{2}+bc}{a\left ( a+b \right )}\geq 3$
sử dụng bđt Cauchy-Schwars và bđt cơ bản:
$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$
ta có:
$\left [ \sum \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )} \right ]$$\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \left [ \sum \sqrt{\frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )\left ( b+ \right )}} \right ]^{2}$$\geq 3\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$
do vậy chỉ cần chứng minh được:
$\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2} +bc\right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$$\geq \sum \frac{1}{a+b}$
Đúng vì:
$\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}-$$\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}}$
$= \frac{c\left ( a-b \right )^{2}}{ab\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}\geq 0$
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$