Bài làm của nthoangcute (Bùi Thế Việt):
________________________________________________________
_________________________________________________________________
a) Phần thuận: Điểm M thỏa mãn $MB^2-MC^2=2MA^2$
Ta có:
Kẻ tia $Ax$ vuông góc với $AM$.
Trên tia $Ax$, lấy điểm N sao cho AM=AN và điểm N luôn thuộc mặt phẳng (bờ là đường thẳng qua A song song với BC) chứa B
Gọi E là giao điểm của đường thẳng song song với BC tại A và đường trung trực của AC
Vậy E cố định
Khi đó $\widehat{ACE}=\widehat{CAE}=\widehat{BCA}=45^{\circ}$
Nên $\Delta ACE$ vuông cân tại E.
Xét $\Delta ACE$ vuông cân tại E nên $AC^2=AE^2+CE^2=2CE^2$ mà AC không đổi nên $CE=AE$ không đổi
Xét $\Delta AMN$ có $\widehat{MAN}=90^{\circ}$, AM=AN nên $\Delta MAN$ vuông cân tại A.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\Delta ANM$ vuông tại A ta có:
$MN^2=AN^2+AM^2=2MA^2$
Ta lại có: vì $\widehat{MAN}=\widehat{BAC} \to \widehat{MAB}+\widehat{BAN}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC} \to \widehat{BAN}=\widehat{MAC}$
Xét $\Delta BAN$ và $\Delta MAC$ có :
$AB=AC$ (theo giả thiết)
$\widehat{BAN}=\widehat{MAC}$ (theo chứng minh trên)
$AN=AM$ (theo cách vẽ)
$\to \Delta NAB = \Delta MAC$ (c.g.c)
$\to BN=MC$ và $\widehat{BNA}=\widehat{AMC}$
Vì $MB^2-MC^2=2MA^2$
$\to MB^2=MN^2+NB^2$ (Vì $2MA^2=MN^2$ và $BN=MC$)
Xét $\Delta BNM$ có $ MB^2=MN^2+NB^2$ nên theo định lý Py-ta-go đảo ta có $\Delta BNM$ vuông tại N
Hay $\widehat{BNM}=90^{\circ}$ mà $\widehat{ANM}=45^{\circ}$ (vì $\Delta ANM$ vuông tại A)
Nên:+ Nếu M trùng A hoặc C thì M thuộc (E,EC)
+Nếu M nằm trong $\Delta ABC$ thì $\widehat{BNA}=\widehat{BNM}+\widehat{MNA}=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$
Mà $\widehat{BNA}=\widehat{AMC}$
Suy ra $\widehat{AMC}=135^{\circ}$
Khi đó $A, C \in (E)$ nên số đo của cung AC lớn bằng $135^{\circ}$ mà $\widehat{AMC}=135^{\circ}$ nên M cũng thuộc (E)
Vậy M thuộc (E,CE) cố định.
+ Nếu M nằm ngoài $\Delta ABC$ thì $\widehat{BNA}=\widehat{BNM}-\widehat{MNA}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$
Mà $\widehat{BNA}=\widehat{AMC}$
Suy ra $\widehat{AMC}=45^{\circ}$
Khi đó $A, C in (E)$ nên số đo của cung AC nhỏ bằng $45^{\circ}$ mà $\widehat{AMC}=45^{\circ}$ nên M cũng thuộc (E)
Vậy M thuộc (E,CE) cố định.
b) Giới hạn:
M nằm trên (E, CE) cố định
c) Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc (E) cố định
+Nếu M trùng A hoặc C thì M thoả mãn đề bài
+Nếu M nằm trong $\Delta ABC$
Khi đó $\widehat{AMC}=135^{\circ}$ (Do chắn cung AC lớn bằng $135^{\circ}$)
Ta sẽ chứng minh $MB^2-MC^2=2MA^2$.
Thật vậy, gọi điểm N như cách đặt phần thuận và cũng chứng minh tương tự phần thuận ta có:
$\widehat{BNA}=\widehat{AMC}=135^{\circ}$, $BN=CM$ và $MN^2=2MA^2$
mà $\widehat{ANM}=45^{\circ}$ nên $\widehat{BNM}=90^{\circ}$
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BNM vuông tại N ta có: $ MB^2=MN^2+NB^2$ mà $BN=CM$ và $MN^2=2MA^2$
Nên $MB^2-MC^2=2MA^2$. (đpcm)
+Nếu M nằm ngoài $\Delta ABC$, chứng minh tương tự nên ta có điều phải CM
d) Kết luận: Quỹ tích các điểm M thỏa mãn đề bài là điểm M nằm trên đường tròn tâm E bán kính EA cố định
D-B=19.2hE=10F=0S=58.8
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 27-03-2012 - 20:51