Chủ đề này có 1 trả lời

[wjzhweo]

Cho $\Delta ABC$ có 4A = 2B = C. CMR :
a.$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
b.$cot^{2}A +cot^{2}B + cot^{2}C = \frac{5}{4}$
Thx mọi người

[perfectstrong]

Lời giải:
a)
Đặt $\angle A = \alpha = \frac{\pi }{7} \Rightarrow \angle B = 2\alpha ;\angle C = 4\alpha $
Theo định lý hàm sin, ta có
\[a = 2R\sin \alpha ;b = 2R\sin 2\alpha ;c = 2R\sin 4\alpha \]
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin 2\alpha }} + \frac{1}{{\sin 4\alpha }} \Leftrightarrow \sin 2a.\sin 4\alpha = \sin 4\alpha \sin \alpha + \sin \alpha \sin 2\alpha \\
\Leftrightarrow \cos 6\alpha - \cos 2\alpha = \cos 5\alpha - \cos 3\alpha + \cos 3\alpha - \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \cos 6\alpha - \cos 5\alpha = \cos 2\alpha - \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{{11\alpha }}{2} = \sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{{3\alpha }}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{{11\alpha }}{2} = \sin \frac{{3\alpha }}{2}:True \\
\end{array}\]
b) Đặt ${\alpha _i} = \frac{{i\pi }}{7};i = \overline {1,3}$
\[\begin{array}{l}
7{\alpha _i} = i\pi \Rightarrow 3{\alpha _i} = i\pi - 4{\alpha _i} \Rightarrow \tan 3{\alpha _i} = \tan \left( {i\pi - 4{\alpha _i}} \right) = - \tan 4{\alpha _i} \Rightarrow {\tan ^2}3{\alpha _i} = {\tan ^2}4{\alpha _i} \\
\Rightarrow {\left( {\frac{{3\tan {\alpha _i} - {{\tan }^3}{\alpha _i}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{\alpha _i}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\tan 2{\alpha _i}}}{{1 - {{\tan }^2}2{\alpha _i}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2.\frac{{2\tan {\alpha _i}}}{{1 - {{\tan }^2}{\alpha _i}}}}}{{1 - {{\left( {\frac{{2\tan {\alpha _i}}}{{1 - {{\tan }^2}{\alpha _i}}}} \right)}^2}}}} \right)^2}\left( {{{\tan }^2}{\alpha _i} = {x_i} > 0} \right) \\
\Leftrightarrow \frac{{x_i^3 - 6x_i^2 + 9{x_i}}}{{9x_i^2 - 6{x_i} + 1}} = \frac{{16x_i^3 - 32x_i^2 + 16{x_i}}}{{x_i^4 - 12x_i^3 + 38x_i^2 - 12{x_i} + 1}} \Leftrightarrow x_i^3 - 21x_i^2 + 35{x_i} - 7 = 0 \\
\end{array}\]
Vậy $\tan^2 \alpha_1;\tan^2 \alpha_2;\tan^2 \alpha_3$ là nghiệm pt
\[ x^3-21x^2+35x-7=0 \]
Theo định lý Viete, ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = 21 \\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 35 \\
{x_1}{x_2}{x_3} = 7 \\
\end{array} \right.\]
Áp dụng, ta có:
\[{\cot ^2}A + {\cot ^2}B + {\cot ^2}C = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{xy + yz + xz}}{{xyz}} = 5\]
=======================
Sử dụng cách làm như câu b, có thể mở rộng cho nhiều bài toán khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 27-03-2012 - 22:06