Tìm snt P sao cho: $p^{3}+p^{2}+p+1$ là một số chính phương
Tìm snt P sao cho: $p^{3}+p^{2}+p+1$ là một số chính phương
Started By ngoc980, 26-03-2012 - 19:12
#1
Posted 26-03-2012 - 19:12
- Dung Dang Do and hieuht2012 like this
Đừng để những khó khăn đánh gục bạn, hãy kiên nhẫn rồi bạn sẽ vượt qua.
Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.
#2
Posted 28-03-2012 - 23:48
Đặt A=$p^{3}+p^{2}+p+1=(p^{2}+1)(p+1)$.
-Nếu p=2 thì A=15 ko là SCP.
-Nếu p>2 do p nguyên tố nên p lẻ.Đặt p=2k-1(k nguyên dương).
Đặt $(p+1;p^{2}+1)=d$ suy ra 2 chia hết cho d.Mà p lẻ nên p+1;$p^{2}+1$ chẵn suy ra d=2.
Có A=4k$(2k^{2}-2k+1)$ là SCP và $(k;2k^{2}-2k+1)=1$(do d=2) nên k;$2k^{2}-2k+1$ là SCP
Đặt k=$a^{2}$;$2k^{2}-2k+1=b^{2}$(a,b>0) (1) .Khi đó ta có:
$p+1=2a^{2}$ và $p^{2}+1=2b^{2}$ suy ra 0<a<b<p.Do đó a-b ko chia hết cho p.
Có $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ chia hết cho p hay 2(b-a)(b+a) chia hết cho p suy ra b+a chia hết cho p.
Mà a+b<2p nên a+b=p.Từ đây kết hợp với $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ dễ dàng tính đc a;b theo p rồi thay vào (1) tìm đc p.
Kết quả p=7
-Nếu p=2 thì A=15 ko là SCP.
-Nếu p>2 do p nguyên tố nên p lẻ.Đặt p=2k-1(k nguyên dương).
Đặt $(p+1;p^{2}+1)=d$ suy ra 2 chia hết cho d.Mà p lẻ nên p+1;$p^{2}+1$ chẵn suy ra d=2.
Có A=4k$(2k^{2}-2k+1)$ là SCP và $(k;2k^{2}-2k+1)=1$(do d=2) nên k;$2k^{2}-2k+1$ là SCP
Đặt k=$a^{2}$;$2k^{2}-2k+1=b^{2}$(a,b>0) (1) .Khi đó ta có:
$p+1=2a^{2}$ và $p^{2}+1=2b^{2}$ suy ra 0<a<b<p.Do đó a-b ko chia hết cho p.
Có $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ chia hết cho p hay 2(b-a)(b+a) chia hết cho p suy ra b+a chia hết cho p.
Mà a+b<2p nên a+b=p.Từ đây kết hợp với $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ dễ dàng tính đc a;b theo p rồi thay vào (1) tìm đc p.
Kết quả p=7
Edited by yeutoan11, 29-03-2012 - 11:41.
$\LaTeX$
- perfectstrong, Mai Duc Khai, ngoc980 and 1 other like this
When you have eliminated the impossible whatever remains, however improbable, must be the truth
__________SHERLOCK HOLMES____________
__________SHERLOCK HOLMES____________
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users