Tìm snt P sao cho: $p^{3}+p^{2}+p+1$ là một số chính phương
#1
Đã gửi 26-03-2012 - 19:12
ngoc980
-
- Thành viên
-
- 84 Bài viết
Hạ sĩ
- Dung Dang Do và hieuht2012 thích
Đừng để những khó khăn đánh gục bạn, hãy kiên nhẫn rồi bạn sẽ vượt qua.
Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.
#2
Đã gửi 28-03-2012 - 23:48
sherlock holmes 1997
-
- Thành viên
-
- 46 Bài viết
Binh nhất
Đặt A=$p^{3}+p^{2}+p+1=(p^{2}+1)(p+1)$.
-Nếu p=2 thì A=15 ko là SCP.
-Nếu p>2 do p nguyên tố nên p lẻ.Đặt p=2k-1(k nguyên dương).
Đặt $(p+1;p^{2}+1)=d$ suy ra 2 chia hết cho d.Mà p lẻ nên p+1;$p^{2}+1$ chẵn suy ra d=2.
Có A=4k$(2k^{2}-2k+1)$ là SCP và $(k;2k^{2}-2k+1)=1$(do d=2) nên k;$2k^{2}-2k+1$ là SCP
Đặt k=$a^{2}$;$2k^{2}-2k+1=b^{2}$(a,b>0) (1) .Khi đó ta có:
$p+1=2a^{2}$ và $p^{2}+1=2b^{2}$ suy ra 0<a<b<p.Do đó a-b ko chia hết cho p.
Có $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ chia hết cho p hay 2(b-a)(b+a) chia hết cho p suy ra b+a chia hết cho p.
Mà a+b<2p nên a+b=p.Từ đây kết hợp với $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ dễ dàng tính đc a;b theo p rồi thay vào (1) tìm đc p.
Kết quả p=7
-Nếu p=2 thì A=15 ko là SCP.
-Nếu p>2 do p nguyên tố nên p lẻ.Đặt p=2k-1(k nguyên dương).
Đặt $(p+1;p^{2}+1)=d$ suy ra 2 chia hết cho d.Mà p lẻ nên p+1;$p^{2}+1$ chẵn suy ra d=2.
Có A=4k$(2k^{2}-2k+1)$ là SCP và $(k;2k^{2}-2k+1)=1$(do d=2) nên k;$2k^{2}-2k+1$ là SCP
Đặt k=$a^{2}$;$2k^{2}-2k+1=b^{2}$(a,b>0) (1) .Khi đó ta có:
$p+1=2a^{2}$ và $p^{2}+1=2b^{2}$ suy ra 0<a<b<p.Do đó a-b ko chia hết cho p.
Có $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ chia hết cho p hay 2(b-a)(b+a) chia hết cho p suy ra b+a chia hết cho p.
Mà a+b<2p nên a+b=p.Từ đây kết hợp với $2(b^{2}-a^{2})=p^{2}-p$ dễ dàng tính đc a;b theo p rồi thay vào (1) tìm đc p.
Kết quả p=7
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 29-03-2012 - 11:41
$\LaTeX$
- perfectstrong, Mai Duc Khai, ngoc980 và 1 người khác yêu thích
When you have eliminated the impossible whatever remains, however improbable, must be the truth
__________SHERLOCK HOLMES____________
__________SHERLOCK HOLMES____________
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
