Chủ đề này có 1 trả lời

[E. Galois]

Day 1
1) Với $x, y, z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[ \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z )^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x )^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y )^{2}}\ge 1 \]



2) Cho tam giác $ABC$ có $\angle B\ne 90^{\circ}$ và $AB \neq AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và $D,E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $I$ tới $BC, CA, AB$. Giả sử
$$ AB\cap DI = S,\ T\in DE,\ TD\bot DF,\ ST\cap EF = R $$
Gọi $w$ là đường tròn đường kính $IR$ và $w$ cắt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tại $P,Q$. ( $D, P$ nằm về hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng $IR$ còn $D,Q$ nằm cùng 1 phía). Ta định nghĩa $P_{ABC}=P$

Xét tam giác cân $XYZ$ sao cho $XZ=YZ>XY$. Gọi $W$ là một điểm trên $YZ$ sao cho $WY<XY$

Đặt $K = P_{YXW}, L = P_{ZXW}$. Chứng minh rằng:
$$2KL \leq XY$$


3)$A_{1}, A_{2},\cdots , A_n$ là các tập hợp. Gọi $ S =\left\{ 1, 2,\cdots , n\right\} $. Với tập con $X$ bất kì của $S$, đặt

\[ N(X)=\left\{ i\in S-X\ |\ \forall j\in X,\ A_{i}\cap A_{j}\ne\emptyset\right\} \]

Giả sử $m$ là số nguyên thỏa mãn $3 \leq m \leq n -2$. Chứng minh rằng tồn tại $X \subset S$ sao cho $|X| = m$ và $|N(X)| \neq 1$

Day 2
1) Cho tam giác nhọn $ABC$, $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ đến $BC$; $D,E$ tương ứng là các điểm trên $AB, AC$; $F,G$ tương ứng là chân các đường vuông góc từ $D, E$ đến $BC$. Giả sử $DG$ cắt $EF$ tại một điểm trên $AH$. Gọi $P$ là chân đường vuông góc hạ từ $E$ đến $DH$. Chứng minh $ \angle APE =\angle CPE $

2) Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên $(x;y;z)$ sao cho

\[ nx^{2}+y^{3}=z^{4},\ \gcd (x,y)=\gcd (y,z)=\gcd (z,x)=1. \]

3) Giả sử $M$ là tập hợp các số nguyên dương không nhận số nguyên tố $p>3$ là ước. Giả sử $A_1, A_2, ...$ là dãy tập con vô hạn bất kì của $M$. Chứng minh rằng tồn tại $i \neq j$ sao cho với mỗi $x \in A_i$ luôn tồn tại một vài $y \in A_j$ sao cho $y|x$

[nguyenthehoanhsgs]

ta co $\sqrt{xy}$ <= $\frac{x+y}{2}$ dua bdt can cm ve
A= $\sum \frac{2x^{2}+xy}{(y+z)^{2}}$>=$\frac{9}{4}$
that vay nhan ca tu va mau voi (2x$^{2}$+xy) sau do dung bdt svacxo.
bien doi tuong ta chi can cm
$\sum x^{4}$>=xy$^{3}$ +yz$^{3}$+zx$^{3}$
va $\sum (xy)^{2}$>=xyz(x+y+z).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoanhsgs: 02-12-2012 - 13:50