Chủ đề này có 1 trả lời

[trankhanhvann]

$1) \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^6x+cos^6x}{6^x+1}dx$


$2)\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin 4x}{cos^2x.\sqrt{tan^4x+1}}dx$


$3)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sin2xdx$

[duongtoi]

Câu 1,
Đặt $I=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\sin^6x+\cos^6x}{6^x+1}{\rm d}x$.
Đặt ẩn phụ, $t=-x$.
$I=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\sin^6t+\cos^6t}{6^{-t}+1}{\rm d}t=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{6^t\left (\sin^6t+\cos^6t \right )}{6^{t}+1}{\rm d}t=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{6^x\left (\sin^6x+\cos^6x \right )}{6^{x}+1}{\rm d}x$.
Vậy,
$I+I=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\sin^6x+\cos^6x}{6^x+1}{\rm d}x+\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{6^x\left (\sin^6x+\cos^6x \right )}{6^{x}+1}{\rm d}x$
$=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(\sin^6x+\cos^6x){\rm d}x=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x){\rm d}x$
$=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(1-3\sin^2x\cos^2x{\rm d}x)$
Đến đây em làm tiếp được nhé.
Câu 3, tách làm 2 tích phân rồi giải thôi. Tích phân đầu tiên sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tích phân thứ 2 thì đơn giản rồi.
Câu 2, $\cos^2x\sqrt{\tan^4x+1}=\sqrt{\sin^4x+\cos^4x}=\sqrt{1-2\sin^2x\cos^2x}=\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^22x}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos4x}$
Đặt căn thức này bằng t rồi thay vào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 29-03-2012 - 13:24