Chủ đề này có 5 trả lời

[Hatake8]

Tìm max,min của S=$\frac{2(xy+y^{2})}{2xy+2x^{2}+y^{2}} với x^{2}+y^{2}=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hatake8: 29-03-2012 - 12:39

[Crystal]

Tìm max,min của S=$\frac{2(xy+y^{2})}{2xy+2x^{2}+y^{2}} với x^{2}+y^{2}=1.$

Cách 1. Dùng lượng giác.

Nhận thấy ${x^2} + {y^2} = 1$ liên quan đến công thức quen thuộc ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ nên ta đặt $x = \sin \alpha ;y = \cos \alpha $.

Khi đó: $$S = \frac{{2\left( {\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{2\sin \alpha \cos \alpha + 2{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 1}}{{\sin 2\alpha + \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + 1}} = \frac{{2\left( {\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 1} \right)}}{{2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha + 3}}$$
$$ \Rightarrow S\left( {2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha + 3} \right) = 2\left( {\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 1} \right)$$
$$ \Leftrightarrow 2\left( {1 - S} \right)\sin 2\alpha + \left( {2 + S} \right)\cos 2\alpha = 3S - 2$$
Đến đây chỉ việc tìm điều kiện để phương trình trên có nghiệm: $$4{\left( {1 - S} \right)^2} + {\left( {2 + S} \right)^2} \ge {\left( {3S - 2} \right)^2}$$
Lúc đó ta tìm được miền giá trị của $S$ và kết luận.

[Crystal]

Cách 2.

Nếu $y=0$ thì ${x^2} = 1$, khi đó $S = 0$

Nếu $y \ne 0$, chia cả tử và mẫu cho ${y^2} \ne 0$, ta được:
$$S = \frac{{2\left( {\dfrac{x}{y} + 1} \right)}}{{2\dfrac{x}{y} + 2{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{2t + 2}}{{2{t^2} + 2t + 1}}$$
với $t = \frac{x}{y}$. Đến đây bạn có thể dùng khảo sát hàm đối với hàm số $f\left( t \right) = \frac{{2t + 2}}{{2{t^2} + 2t + 1}}$ hay có thể dùng phương pháp miền giá trị như cách 1.

[Hatake8]

Cách 2.

Nếu $y=0$ thì ${x^2} = 1$, khi đó $S = 0$

Nếu $y \ne 0$, chia cả tử và mẫu cho ${y^2} \ne 0$, ta được:
$$S = \frac{{2\left( {\dfrac{x}{y} + 1} \right)}}{{2\dfrac{x}{y} + 2{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{2t + 2}}{{2{t^2} + 2t + 1}}$$
với $t = \frac{x}{y}$. Đến đây bạn có thể dùng khảo sát hàm đối với hàm số $f\left( t \right) = \frac{{2t + 2}}{{2{t^2} + 2t + 1}}$ hay có thể dùng phương pháp miền giá trị như cách 1.

không biết mình có làm sai không nhưng khi tính S' thì S'=0 ra nghiệm lẻ bạn à

[Crystal]

không biết mình có làm sai không nhưng khi tính S' thì S'=0 ra nghiệm lẻ bạn à

Mình cũng không tính nhưng đó là phương pháp, phần tính toán bạn xem kĩ nhé.

-------

[Hatake8]

Mình cũng không tính nhưng đó là phương pháp, phần tính toán bạn xem kĩ nhé.

-------

thực ra không phải mình không biết cách làm,mà là mình thấy ra lẻ nên mới lập topic hỏi mọi người