Không gì quý bằng học được từ những sai lầm của chính mình. Tôpic này dùng để post các bài giải, lập luận sai lầm về kiến thức trong giải toán 9. Hi vọng đây là topic bổ ích cho các em HS lớp 9.
Chúng ta có 1 vài lưu ý sau:
- KHÔNG post các nghịch lý ở đây, vì diễn đàn đã có chỗ dành riêng cho các nghịch lí ở đây: http://diendantoanho...p?showforum=416
- Các mem nêu đề bài và lời giải sai nhớ đánh số thứ tự bài toán
- Các mem khác chỉ ra lỗi sai và post lời giải đúng, nên rút ra kết luận để khắc sâu, nắm vững hơn kiến thức.
- Giải xong bài đang có mới nên post tiếp bài sau, tránh post tràn lan.
- Bài viết Spam, chém gió, các ĐHV THCS cứ thẳng tay delete.
#1
Posted 31-03-2012 - 00:20
- funcalys, L Lawliet, Dung Dang Do and 3 others like this
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Posted 31-03-2012 - 08:49
Lời đầu tiên em rất cảm ơn anh E. Galois đã lập ra topic này. Có thể nói trong học tập thì việc nhận ra sai lầm, sữa chữa và rút ra kinh nghiệm cho bản thân là rất cần thiết. Vì vậy em rất mong topic này sẽ phát triển. Không nói nhiều nữa em xin gửi đến topic 1 bài góp vui và giúp các bạn tham gia topic khởi động cho nóng người .Không gì quý bằng học được từ những sai lầm của chính mình. Tôpic này dùng để post các bài giải, lập luận sai lầm về kiến thức trong giải toán 9. Hi vọng đây là topic bổ ích cho các em HS lớp 9.
Chúng ta có 1 vài lưu ý sau:
- KHÔNG post các nghịch lý ở đây, vì diễn đàn đã có chỗ dành riêng cho các nghịch lí ở đây: http://diendantoanho...p?showforum=416
- Các mem nêu đề bài và lời giải sai nhớ đánh số thứ tự bài toán
- Các mem khác chỉ ra lỗi sai và post lời giải đúng, nên rút ra kết luận để khắc sâu, nắm vững hơn kiến thức.
- Giải xong bài đang có mới nên post tiếp bài sau, tránh post tràn lan.
- Bài viết Spam, chém gió, các ĐHV THCS cứ thẳng tay delete.
Bài toán 1: Cho $a$, $b$ là các số thực khác $0$. CMR: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+4\geq 0$ (*)
(Tuyển chọn 10 năm Toán Tuổi Thơ các chuyên đề và đề toán chọn lọc THCS)
Lời giải: Biến đổi vế trái của (*) thành:
$$VT=(\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2})-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}$$
$$=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$$
$$=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)$$
Vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ nên ta có ĐPCM.
Giải xong rồi nhưng mình thấy có điều gì đó không ổn mời các bạn tìm giúp mình .
Edited by L Lawliet, 31-03-2012 - 19:26.
- MIM, nthoangcute, motcongmotlonhon2 and 1 other like this
Thích ngủ.
#3
Posted 31-03-2012 - 08:59
_____________________________________________________
Lời giải trên sai ở chỗ:
Thật vậy: Ta có:|$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$| $\geq 2$ chứ không phải là $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$Vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ nên ta có ĐPCM.
Lời giải đúng:
Lời giải: Biến đổi vế trái của (*) thành:
$VT=(\frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2})-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}$
$=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$
$=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1)$
Ta có: Với $a, b \neq 0$ thì |$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$| $\geq 2$
Hay $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ hoặc $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$
Xét $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1 \geq 1>0$ nên $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1) \geq 0$ (đpcm)
Xét $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$ thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1 \leq -3 <0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} - 2 \leq -4<0$ nên
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1) > 0$
Tóm lại ta luôn có:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+4\geq 0$
- perfectstrong, L Lawliet, LuongDucTuanDat and 15 others like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#4
Posted 31-03-2012 - 09:06
__________________________________________________
Bài toán 2
Giả sử $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR $a^4+b^4+c^4<2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Lời giải: (của một số sách về BĐT)
Vì $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $|b-c| <a$
$\to b^2-2bc+c^2<a^2$
$\to b^2+c^2-a^2<2bc$
$\to (b^2+c^2-a^2)^2<(2bc)^2$
$\to b^4+c^4+a^4+2b^2c^2-2a^2b^2-2c^2a^2<4b^2c^2$
$\to a^4+b^4+c^4<2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
___________________________________________
Các bạn có hài lòng với lời giải này không?
Theo bạn phải giải thích thế nào cho đúng
- L Lawliet, sherlock holmes 1997 and huy30101999 like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#5
Posted 31-03-2012 - 09:22
Ở đây không ổn chỗ này bởi vì chưa biết $b^2+c^2-a^2$ là số âm hay số dương nên không thể bình phương được .$\to (b^2+c^2-a^2)^2<(2bc)^2$
Ở bài toán 1 ta có thể tổng quát như sau .
Cho $|m|\leq 2;|n|\leq 2;ab\neq 0$
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+mn+2\geq (m+n)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
Với a,b là số thực khác 0. VỚi m=2, n=1 là bài toán trên.
Edited by Ispectorgadget, 31-03-2012 - 16:37.
- L Lawliet and nthoangcute like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#6
Posted 31-03-2012 - 09:32
Anh có thể trình bày bài giải lại bài 2 1 cách hoàn chỉnh không .Ở đây không ổn chỗ này bởi vì chưa biết $b^2+c^2-a^2$ là số âm hay số dương nên không thể bình phương được .
Ở bài toán 1 ta có thể tổng quát như sau .
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+mn+2\geq (m+n)(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
Với a,b là số thực khác 0. VỚi m=2, n=1 là bài toán trên.
- MIM, nthoangcute and danganhaaaa like this
Thích ngủ.
#7
Posted 31-03-2012 - 09:33
Ý tưởng của bạn là đúngỞ đây không ổn chỗ này bởi vì chưa biết $b^2+c^2-a^2$ là số âm hay số dương nên không thể bình phương được .
Lời giải đúng:
Ta có
$a^4+b^4+c^4<2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)>0$ (luôn đúng do BĐT tam giác)
____________________________________________________________________
Edited by E. Galois, 31-03-2012 - 11:05.
- L Lawliet, sherlock holmes 1997, danganhaaaa and 1 other like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#8
Posted 31-03-2012 - 10:08
Bài toán 3
Đề bài: Giải phương trình $(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)$ (1)
Lời giải:
Đặt $a^2-6x-9=t$
PT(1) trở thành
$t^2-x(t+2x)=0$
$\Leftrightarrow (t+x)(t-2x)=0$
$\Leftrightarrow t=-x$ hoặc $t=2x$
Xét $t=-x$
Từ (1) ta có $(-x)^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-5x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$ hoặc $x=\frac{5-\sqrt{61}}{2}$
Xét $t=2x$
Từ (1) ta có: $4x^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-8x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=9$ hoặc $x=-1$
Tóm lại phương trình có 5 nghiệm $x \in $ {$0;\frac{5+\sqrt{61}}{2};\frac{5-\sqrt{61}}{2};9;-1$}
_______________________________________________
Theo cách giải đó thì PT(1) là phương trình bậc 4 có tận 5 nghiệm, lẽ nào lời giải lại sai, bạn có thể giải thích không?
Edited by E. Galois, 31-03-2012 - 11:12.
- L Lawliet, sherlock holmes 1997 and linhlun97 like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#9
Posted 31-03-2012 - 10:23
Bài hay . Lời giải sai ở bước đặt ẩn phụ (theo tớ nghĩ). Lời giải đúng:Chuẩn rùi đó
Do không tồn tại $n$ tự nhiên để $2^n=264$ nên phương trình không có nghiệm
_____________________________________________________
Bài tiếp theo (dành cho học sinh lớp 8, 9)
Đề bài: Giải phương trình $(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)$ (1)
Lời giải:
Đặt $a^2-6x-9=t$
PT(1) trở thành
$t^2-x(t+2x)=0$
$\Leftrightarrow (t+x)(t-2x)=0$
$\Leftrightarrow t=-x$ hoặc $t=2x$
Xét $t=-x$
Từ (1) ta có $(-x)^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-5x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$ hoặc $x=\frac{5-\sqrt{61}}{2}$
Xét $t=2x$
Từ (1) ta có: $4x^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-8x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=9$ hoặc $x=-1$
Tóm lại phương trình có 5 nghiệm $x \in $ {$0;\frac{5+\sqrt{61}}{2};\frac{5-\sqrt{61}}{2};9;-1$}
_______________________________________________
Theo cách giải đó thì PT(1) là phương trình bậc 4 có tận 5 nghiệm, lẽ nào lời giải lại sai, bạn có thể giải thích không?
Đặt $x^2-4x-9=t$ khi đó phương trình đã cho trở thành:
$$tx=(t-2x)^2$$
$$\Leftrightarrow (t-x)(t-4x)=0$$
$$\Leftrightarrow t_{1}=x; t_{2}=4x$$
+) Với $t=x$ ta được phương trình:
$$x^2-4x-9=x$$
Phương trình đơn giản nên để cho các bạn giải .
+) Với $t=4x$ ta được phương trình:
$$x^2-4x-9=4x$$
Các bạn tự giải phương trình này nhé .
- perfectstrong and MIM like this
Thích ngủ.
#10
Posted 31-03-2012 - 10:33
Bài toán 4: Cho phương trình:
$$|x^2-3|+|5-x^2|=a-3$$ ($a$ là tham số)
Hãy tìm $a$ để phương trình vô nghiệm.
Lời giải: Với mọi $x$ ta có: $|x^2-3|+|5-x^2|=a-3$.
Do đó phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: $a-3<0\Leftrightarrow a<3$
Lời giải trên có gì đó khong ổn mời các bạn tìm thử .
P/s: Giờ đi học bài đã lát lên post tiếp mọi người thông cảm ^^.
- MIM likes this
Thích ngủ.
#11
Posted 31-03-2012 - 10:53
Chỗ này sai vì cái chữ "khi và chỉ khi"phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: $a-3<0\Leftrightarrow a<3$
Thực ra PT trên cần phải xét khoảng để có một lời giải một cách an toàn:
Đặt $x^2=t \geq 0$
Khi đó PT trở thành $|t-3|+|5-t|=a-3$ (*)
Xét $0 \leq t \leq 3$ . PT (*) tương đương với $3-t+5-t=a-3$ hay $a=11-2t$ mà $0 \leq t \leq 3$ nên $ 5 \leq a \leq 11$. Để PT vô nghiệm thì $a<5$ hoặc $a>11$
Xét $3 \leq t \leq 5$ . PT (*) tương đương với $3-t-5+t=a-3$ hay $a=1$ . Do đó $a=1$ thì PT(*) có vô số nghiệm nên không thỏa mãn. Do đó $a \neq 1$
Xét $t \geq 5$ . PT (*) tương đương với $-3+t-5+t=a-3$ hay $a=2t-5$ mà $t \geq 5$ nên $a \geq 5$ mà để PT(*) vô nghiệm thì $a<5$
Tóm lại Để PT vô nghiệm thì $a>11$ hoặc $a<5$
- perfectstrong, L Lawliet, sherlock holmes 1997 and 2 others like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#12
Posted 31-03-2012 - 11:09
- Chỉ post bài của Toán 9 ở đây, LỚP 6, 7, 8 ĐÃ CÓ TOPIC KHÁC RỒI
- PHẢI ĐÁNH SỐ THỨ TỰ CÁC BÀI
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#13
Posted 31-03-2012 - 14:01
$$A=|x^2-x+3|+|x^2-x-2|$$
Lời giải: Ta có:
$$A=|x^2-x+3|+|x^2-x-2|$$
$$=|(x-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}|+|(x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}|\geq |\frac{11}{4}|+|-\frac{9}{4}|= 5$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $(x-\frac{1}{2})^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Vậy GTNN của $A$ là $5$ khi $x=\frac{1}{2}$.
- MIM and Long Cold Ice like this
Thích ngủ.
#14
Posted 31-03-2012 - 17:01
Lời giải
$\Leftrightarrow (a+b)^2\leq (\sqrt{2(a^2+b^2)})^2\Leftrightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$
Điều này đúng nên BĐT đầu đúng.
Lời giải này có một lỗi sai cực kì "nguy hiểm" mọi người tìm xem nhé
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#15
Posted 31-03-2012 - 17:38
___________________________________________________________
Lỗi ở đây là chỗ
Thật vậy, ta có định nghĩa : $A \leq B \Leftrightarrow A^2 \leq B^2$ nếu $A, B$ đều không âm$a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$
$\Leftrightarrow (a+b)^2\leq (\sqrt{2(a^2+b^2)})^2$
Vậy với bài toán trên, ta phải xét 2 Trường hợp:
Nếu $a+b<0$ khi đó ta lại có $\sqrt{2(a^2+b^2)} \geq 0$
Vậy $\sqrt{2(a^2+b^2)} \geq 0 \geq a+b$ nên BĐT luôn đúng với $a+b<0$
Nếu $a+b \geq 0$, khi đó:
$a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$
$\Leftrightarrow (a+b)^2\leq (\sqrt{2(a^2+b^2)})^2\Leftrightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$
Điều này đúng nên BĐT đầu đúng.
Edited by nthoangcute, 31-03-2012 - 17:47.
- nguyễn nhơn nghĩa, perfectstrong, sherlock holmes 1997 and 1 other like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#16
Posted 31-03-2012 - 20:47
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 sô dương ta có:
$a^{99}+b^{99}+c^{99} \geq 3\sqrt[3]{(abc)^{99}}$
$a^{98}+b^{98}+c^{98} \geq 3\sqrt[3]{(abc)^{98}}$
Do đó $\frac{a^{99}+b^{99}+c^{99}}{a^{98}+b^{98}+c^{98}} \geq \sqrt[3]{abc}$
______________________________________________________
Bạn xem lời giải trên đã đúng chưa, nếu không phải làm thế nào cho đúng ?
- sherlock holmes 1997, linhlun97 and Pham Le Yen Nhi like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#17
Posted 01-04-2012 - 07:24
Áp dụng BĐT Chebysev ta có:
$3(a^{99}+b^{99}+c^{99})$
$=3(a^{98}.a+b^{98}.b+c^{98}.c$
$\geq (a+b+c)(a^{98}+a^{98}+a^{98})$
Suy ra $\frac{a^{99}+b^{99}+c^{99}}{a^{98}+b^{98}+c^{98}} \geq \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$
- sherlock holmes 1997 and linhlun97 like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#18
Posted 02-04-2012 - 17:24
Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$, CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$
Lời giải sai lầm
-Áp dụng BĐT Nesbit 3 biến, ta có:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}\geq \frac{3}{2}$
Cộng vế với vế ta có:
$3(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b})\geq 6$
$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$
Lời giải khá đẹp . Nhưng ta để ý thấy với $a=c;b=d$ thì đẳng thức vẫn xảy ra! Lỗi sai ở đâu
Đây là 4 biến mà
Edited by minhtuyb, 02-04-2012 - 21:23.
#19
Posted 02-04-2012 - 17:31
Đây là 4 biến màCm Nesbit 4 biến khi vừa cm được Nesbit 3 biến (Nesbit được coi là lớp 9 không nhỉ ?)
Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$, CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$Lời giải sai lầm
-Áp dụng BĐT Nesbit 3 biến, ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq \frac{3}{2}$
#20
Posted 02-04-2012 - 18:03
Có nhiều cách:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$VT\left[ {a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + d} \right) + c\left( {d + a} \right) + d\left( {a + b} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c + d} \right)^2}$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c + d} \right)^2} \ge 2\left( {ab + bc + cd + da + 2ca + 2bd} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 2ca + 2bd\\
\Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
- sherlock holmes 1997 and linhlun97 like this
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Also tagged with one or more of these keywords: sai lầm ở đâu?
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Các dạng toán THPT khác →
[Lớp 12] SAI LẦM Ở ĐÂU?Started by E. Galois, 31-03-2012 sai lầm ở đâu? |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Các dạng toán THPT khác →
[Lớp 11] SAI LẦM Ở ĐÂU?Started by E. Galois, 31-03-2012 sai lầm ở đâu? |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Các dạng toán THPT khác →
[Lớp 10] SAI LẦM Ở ĐÂU?Started by E. Galois, 31-03-2012 sai lầm ở đâu? |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Các dạng toán khác →
[Lớp 8] SAI LẦM Ở ĐÂU?Started by E. Galois, 31-03-2012 sai lầm ở đâu? |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Các dạng toán khác →
[Lớp 7] SAI LẦM Ở ĐÂU?Started by E. Galois, 31-03-2012 Lớp 7, Sai lầm ở đâu? |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users