Bài toán 9: Cho $A=x+\frac{1}{x}$ là $1$ số nguyên. Chứng minh rằng: $ a_n=x^n+\frac{1}{x^n}$, là số nguyên với mọi n nguyên
Lời giải: Vì $A=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}$ là số nguyên, nên $x^2+1\vdots x$. Mặt khác, ta có $x^2\vdots x$ $\Rightarrow 1\vdots x\Rightarrow x=\pm 1$.
Với $x=1$ ta có $ a_n=x^n+\frac{1}{x^n}=2$
Với $x=-1$ ta có $ a_n=2$
và $ a_n=-2$ (nếu x lẻ).
Vậy ta có ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-04-2012 - 16:39