Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K.
chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi khi E di chuyễn trên cạnh BC
Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K. chứng minh BE.BC + AE.AH
Started By legialoi, 31-03-2012 - 18:15
#1
Posted 31-03-2012 - 18:15
- Dung Dang Do likes this
#2
Posted 31-03-2012 - 21:01
Giải như sau :Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K.
chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi khi E di chuyễn trên cạnh BC
Ta có: $\Delta ACE\sim AHK$(G-G)$\Rightarrow \frac{AC}{AH}=\frac{AE}{AK}\Rightarrow AE.AH=AC.AK$ (1)
$\Delta BHE\sim \Delta BCK\Rightarrow \frac{BH}{BC}=\frac{BE}{KB}\Rightarrow BC.BE=BH.KB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK
Mặt khác $\Delta ACE=\Delta BCK$(G-C-G) $\Rightarrow AE=BK$;$S_{\Delta ACE}=S_{BCK}$
BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK hay BE.BC+AE.AH=BH.AE+ABC.AK
Lại có: BH.AE+ABC.AK= $S_{\Delta AEB }+S_{\Delta ABK}$=$S_{\Delta AEB }+S_{\Delta BCK}+S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AEB}+S_{\Delta ACE}+S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABC}$ (không đổi)
suy ra BH.AE+ABC.AK không đổi hay BE.BC+AE.AH không đổi
$\Rightarrow$ đpcm
- legialoi and perfectstrong like this
Đừng để những khó khăn đánh gục bạn, hãy kiên nhẫn rồi bạn sẽ vượt qua.
Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.
#3
Posted 31-03-2012 - 21:49
Ta có $\triangle ACE\sim \triangle AHK\Rightarrow \frac{AE}{AK}=\frac{AC}{AH}\Rightarrow AE.AH = KA.AC (1)$
$\triangle BHE\sim \triangle BCK\Rightarrow \frac{BE}{BK}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BE.BC = BH.BK (2)$
Từ (1)(2) suy ra BE.BC + AE.AH = KA.AC + BH.BK = KA(KA-KC) + BK(KB-KH) = $\ KA^{2}-KA.KC + KB^{2}-KB.KH$ =$\ KA^{2}-2KA.KC + KB^{2}$ =$KA^{2}-2KA.KC + KC^{2} + BC^{2}$ =$(KA-KC)^{2}+BC^{2} = AC^{2}+ BC^{2} =AB^{2}$ (Không đổi) Vì $(\triangle KHC\sim \triangle KAB\Rightarrow KA.KC = KH.KB)$
$\triangle BHE\sim \triangle BCK\Rightarrow \frac{BE}{BK}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BE.BC = BH.BK (2)$
Từ (1)(2) suy ra BE.BC + AE.AH = KA.AC + BH.BK = KA(KA-KC) + BK(KB-KH) = $\ KA^{2}-KA.KC + KB^{2}-KB.KH$ =$\ KA^{2}-2KA.KC + KB^{2}$ =$KA^{2}-2KA.KC + KC^{2} + BC^{2}$ =$(KA-KC)^{2}+BC^{2} = AC^{2}+ BC^{2} =AB^{2}$ (Không đổi) Vì $(\triangle KHC\sim \triangle KAB\Rightarrow KA.KC = KH.KB)$
Edited by legialoi, 31-03-2012 - 21:56.
- perfectstrong likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users