Cho đường tròn (O). Hai đường kính AB và MK không vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy E,F sao cho OE = OF. Vẽ dây MC đi qua E, dây MD đi qua F. Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại S.
Chứng minh SK là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh SK là tiếp tuyến của (O)
Bắt đầu bởi Dieu Ha, 31-03-2012 - 19:44
#1
Đã gửi 31-03-2012 - 19:44
#2
Đã gửi 11-04-2012 - 09:56
*OE = OF $\Rightarrow$ KEMF là hbh.
Kẻ $KI\perp AB tại I\Rightarrow KDIE,CKIF$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{DKI}=\widehat{DEI}=\widehat{OEM}=\overleftarrow{OFK}=\widehat{ICK}$
và $\widehat{DIK}=\widehat{DEK}=\widehat{KFC}=\widehat{KIC}$
$\Rightarrow \Delta KDI\sim \Delta CKI\Rightarrow KI^{2}=DI.CI$ (1)
và $\widehat{DIK}=\widehat{KIC}\Rightarrow \widehat{DIS}=\widehat{CIO}$ (2)
*Từ D kẻ đường song song với AB và cắt CO tại J $\Rightarrow \widehat{CJD}=\widehat{COI}$
$\widehat{DCJ}=\frac{1}{2}sdDC'$
$\widehat{CIO}=\frac{1}{2}sd(CB+AD')$
mà CB + AD' = AC' + AD = DC' $\Rightarrow \widehat{DCJ}=\widehat{CIO}\Rightarrow \Delta CJD\sim \Delta IOC$
$\Rightarrow \widehat{CDJ}=\widehat{ICO}=\widehat{DSI}$ (3)
(2) (3) $\Rightarrow \Delta SDI\sim \Delta COI\Rightarrow SI.IO=DI.CI$ (4)
Từ (1)(4) $\Rightarrow SI.IO=KI^{2}\Rightarrow \Delta SKI\sim \Delta KOI\Rightarrow \widehat{KSI}=\widehat{OKI}$
$\Rightarrow \widehat{SKI}+\widehat{OKI}=\widehat{SKI}+\widehat{KSI}=90^{o}\Rightarrow$ đpcm.
- perfectstrong, Dieu Ha và Lnmn179 thích
#3
Đã gửi 11-04-2012 - 19:13
Lời giải 2:
Vẽ $ON \perp CD \Rightarrow$ N là trung điểm CD.
MEKF là hình bình hành $\Rightarrow ME \parallel KF \Rightarrow \angle MKF=\angle KME=\angle KDC$
Kết hợp với $\angle KCD=\angle KMF \Rightarrow \vartriangle DCK \sim \vartriangle KMF(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CD}{CK}=\dfrac{MK}{MF} \Rightarrow \dfrac{2CN}{CK}=\dfrac{2MO}{MF} \Rightarrow \dfrac{CN}{CK}=\dfrac{MO}{MF}$
Lại có $\angle KCN=\angle OMF \Rightarrow \vartriangle KCN \sim \vartriangle FOM(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle KNC=\angle FOM \Rightarrow 180^o-\angle KNC=180^o-\angle FOM$
$\Rightarrow \angle KNS=\angle KOS \Rightarrow$ KNOS là tgnt
$\Rightarrow \angle SKO=\angle SNO=90^o \Rightarrow Q.E.D$
Vẽ $ON \perp CD \Rightarrow$ N là trung điểm CD.
MEKF là hình bình hành $\Rightarrow ME \parallel KF \Rightarrow \angle MKF=\angle KME=\angle KDC$
Kết hợp với $\angle KCD=\angle KMF \Rightarrow \vartriangle DCK \sim \vartriangle KMF(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CD}{CK}=\dfrac{MK}{MF} \Rightarrow \dfrac{2CN}{CK}=\dfrac{2MO}{MF} \Rightarrow \dfrac{CN}{CK}=\dfrac{MO}{MF}$
Lại có $\angle KCN=\angle OMF \Rightarrow \vartriangle KCN \sim \vartriangle FOM(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle KNC=\angle FOM \Rightarrow 180^o-\angle KNC=180^o-\angle FOM$
$\Rightarrow \angle KNS=\angle KOS \Rightarrow$ KNOS là tgnt
$\Rightarrow \angle SKO=\angle SNO=90^o \Rightarrow Q.E.D$
- hoclamtoan, Dieu Ha, Lnmn179 và 4 người khác yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh