Chủ đề này có 3 trả lời

[Tham Lang]

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} + \dfrac{a^2 + b^2}{c^2 + ab} + \dfrac{b^2 + c^2}{a^2 + bc} + \dfrac{c^2 + a^2}{b^2 + ca} \ge \dfrac{9}{2}$$

Chọn HSG lớp 12 Thừa Thiên Huế 2008-2009

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 03-04-2012 - 22:17

[alex_hoang]

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} + \dfrac{a^2 + b^2}{c^2 + ab} + \dfrac{b^2 + c^2}{a^2 + bc} + \dfrac{c^2 + a^2}{b^2 + ca} \ge \dfrac{9}{2}$$

Chọn HSG lớp 12 Thừa Thiên Huế 2008-2009

Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức C-S ta có
\[ = \frac{{{a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{2ca}} + \frac{{{c^2}}}{{2ab}} + \sum {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{c^2} + ab}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2} + ab}}} \right)} \ge \frac{{{{(3(a + b + c))}^2}}}{{2{{(a + b + c)}^2}}} = \frac{9}{2}\]

[Crystal]

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} + \dfrac{a^2 + b^2}{c^2 + ab} + \dfrac{b^2 + c^2}{a^2 + bc} + \dfrac{c^2 + a^2}{b^2 + ca} \ge \dfrac{9}{2}$$

Chọn HSG lớp 12 Thừa Thiên Huế 2008-2009

Một hướng khác.

Ta có: \[VT = \frac{{{a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{2ab}} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + ab}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + bc}} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2} + ac}}\]
\[ = \left( {\frac{{{a^2} + bc}}{{2bc}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + bc}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2} + ac}}{{2ac}} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{{{b^2} + ac}}} \right) + \left( {\frac{{{c^2} + ab}}{{2ab}} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + ab}}} \right) - \frac{3}{2}\]
\[ \ge \left( {\frac{{{a^2} + bc}}{{2bc}} + \frac{{2bc}}{{{a^2} + bc}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2} + ac}}{{2ac}} + \frac{{2ac}}{{{b^2} + ac}}} \right) + \left( {\frac{{{c^2} + ab}}{{2ab}} + \frac{{2ab}}{{{c^2} + ab}}} \right) - \frac{3}{2}\]
\[ \ge 2 + 2 + 2 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow Q.E.D\]
XONG

[Tienanh tx]

Cho $a, b, c > 0$ Chứng minh bất đẳng thức sau :
$$\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} + \dfrac{a^2 + b^2}{c^2 + ab} + \dfrac{b^2 + c^2}{a^2 + bc} + \dfrac{c^2 + a^2}{b^2 + ca} \ge \dfrac{9}{2}$$

Chọn HSG lớp 12 Thừa Thiên Huế 2008-2009

 

$\oplus$ Ta có: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc} \overset{AM-GM}{\ge} \dfrac{3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}{2abc} = \dfrac{3}{2}$

$\oplus$ Ta đi chứng minh $\sum \dfrac{a^2+b^2}{c^2+ab} \ge \dfrac{6}{2} = 3$

$\oplus$ Ta có: $\dfrac{a^2 + b^2}{c^2 + ab} + \dfrac{b^2 + c^2}{a^2 + bc} + \dfrac{c^2 + a^2}{b^2 + ca} \overset{AM-GM}{\ge}  3\sqrt[3]{ \dfrac{\prod (a^2+b^2)}{\prod (c^2+ab)}}$ $(1)$

$\oplus$ Ta có: $(c^2+ab)(b^2+ac)(a^2+ab) = (c.c+a.b)(b.b+a.c)(a.a+a.b) \overset{Bunyakovsky}{\leq} \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} = \sqrt{(a^2+b^2)^2(b^2+c^2)^2(c^2+a^2)^2} = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ $(2)$

$\oplus$ Thay $(2)$ vào $(1)$ $\Longrightarrow$ $QED$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 31-05-2013 - 14:57