Chủ đề này có 4 trả lời

[Crystal]

Problem 1.
Find all primes $p$ such that $ p+2 $ and $ p^{2}+2p-8 $ are also primes.

Problem 2.
The trinomial $ f(x) $ is such that $ (f(x))^{3}-f(x)=0 $ has three real roots. Find the $y-$ coordinate of the vertex of $ f(x) $.

Problem 3.
Let $ S_{i} $ be the sum of the first $i$ terms of the arithmetic sequence $ a_{1},a_{2},a_{3}\ldots $ Show that the value of the expression
\[ \frac{S_{i}}{i}(j-k)+\frac{S_{j}}{j}(k-i)+\ \frac{S_{k}}{k}(i-j) \]
does not depend on the numbers $ i,j,k $ nor on the choice of the arithmetic sequence $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots $.

Problem 4.
Find all functions $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ such that
\[ f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy) \]
for all $ x\in\mathbb{R} $.

Problem 5.
Let $ABC$ be a triangle where $ AC\neq BC $. Let $P$ be the foot of the altitude taken from $C$ to $AB$; and let $V$ be the orthocentre, $O$ the circumcentre of $ABC$, and $D$ the point of intersection between the radius $OC$ and the side $AB$. The midpoint of $CD$ is $E$.
a) Prove that the reflection $V'$ of $V$ in $AB$ is on the circumcircle of the triangle $ABC$.
b) In what ratio does the segment $EP$ divide the segment $OV$?

[E. Galois]

Problem 1.
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $ p+2 $ và $ p^{2}+2p-8 $ cũng là các số nguyên tố

Problem 2.
Giả sử có tam thức bậc hai $ f(x) $ sao cho $ (f(x))^{3}-f(x)=0 $ có 3 nghiệm thực. Tìm tung độ đỉnh của $ f(x) $.

Problem 3.
Giả sử $S_{i}$ là tổng $i$ số hạng đầu của dãy số $ a_{1},a_{2},a_{3}\ldots $ Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
\[ \frac{S_{i}}{i}(j-k)+\frac{S_{j}}{j}(k-i)+\ \frac{S_{k}}{k}(i-j) \]
không phụ thuộc vào các số $ i,j,k $ mà cũng không phụ thuộc việc chọn dãy $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots $.

Problem 4.
Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ sao cho
\[ f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy) \]
với mọi $ x\in\mathbb{R} $.

Problem 5.
Cho tam giác $ABC$ có $ AC\neq BC $, đường cao $CP$, trực tâm $V$, tâm ngoại tiếp $O$, $D$ là giao điểm của $OC$ và $AB$ còn $E$ là trung điểm $CD$.
a) Chứng minh rằng điểm đối xứng $V'$ của $V$ qua $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
b) Tìm tỉ số độ dài đoạn $EP$ chia độ dài đoạn $OV$?

[Zaraki]

Problem 4.
Find all functions $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ such that
\[ f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy) \]
for all $ x\in\mathbb{R} $.

Tìm tất cả các hàm $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ sao cho:
\[ f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy) \]
với mọi $ x\in\mathbb{R} $.

[Trần Đức Anh @@]

Problem 1: Ta có: $p^2+2p-8=(p-2)(p+4)$. Vì $p$ là số nguyên tố nên $p\geq 2$, suy ra $p=3$, thử lại thấy thỏa mãn.

[navibol]

Bạn xem lại hộ mình cái đề nhé^^
Hình như phải thế này mới đúng
$f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$