Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng tâm O của hình vuông.Từ trung điểm I của SO, hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên SBC., hai đoạn vuông góc này có độ dài lần lượt là a, b.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, b

[longnguyen171]

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng tâm O của hình vuông.Từ trung điểm I của SO, hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên SBC., hai đoạn vuông góc này có độ dài lần lượt là a, b.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, b

S.ABCD là chóp đều $\Rightarrow V_{S.ABCD}=8.V_{S.OCM}$
Ta đi tìm thể tích của chóp S.OCM
$\Delta $OCM là tam giác vuông cân tại M
Lấy OF,OH$\parallel$OI,IK $\Rightarrow$OF=2b ; OH=2a
Dễ dàng chứng minh được CM$\perp$(SOM)
$\left.\begin{matrix}
(SOM)\cap (SOC)=SO & & \\
OM\perp SO& & \\
CO\perp SO& &
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \widehat{[(SOC),(SOM)]}=\widehat{COM}=45^{\circ}$
$\Rightarrow S_{SOM}=S_{SOC}cos45^{\circ}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}OF.SM=\frac{1}{2}OH.SC.cos45^{\circ}$
$\Rightarrow \frac{SM}{SC}=\frac{a}{b\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \frac{SM^2}{SC^2}=\frac{a^2}{2b^2}$
$\Rightarrow \frac{SC^2-CM^2}{SC^2}=\frac{a^2}{2b^2}$
$\Rightarrow 1- \frac{a^2}{2b^2}=\frac{CM^2}{SC^2}$
$\Rightarrow \frac{CM}{SC}=\sqrt{1-\frac{a^2}{2b^2}}$

$cos\alpha =\frac{OM}{SM}=\frac{CM}{SM}=\frac{\sqrt{1-\frac{a^2}{2b^2}}}{\frac{a}{b\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2b^2-a^2}}{a}$
$OM=\frac{OF}{sin\alpha }=\frac{2a}{\sqrt{1-cos^2\alpha }}=\frac{2a}{\sqrt{1-\frac{2b^2-a^2}{a^2}}}=\frac{a^2.\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2-2b^2}}$
$tan\alpha =\frac{SO}{SM}$
$\Rightarrow SO=tan\alpha .OM=OM\sqrt{\frac{1}{cos^2\alpha }-1}=\frac{a^2.\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2-2b^2}}.\sqrt{\frac{2a^2-2b^2}{2b^2-a^2}}=\frac{a^2.\sqrt{2}}{2b^2-a^2}$

Từ đây ta đã có OM và SO , dễ dàng tính được $V_{S.OMC}$ rồi $V_{S.ABCD}$
(Hình như điểm H hơi thừa )