Chủ đề này có 1 trả lời

[luuthong123]

Cho hàm số $y=-x^4+2mx^2-2m+1$. Xác định $m$ sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành một cấp số cộng

[hoangtrong2305]

Cho hàm số $y=-x^4+2mx^2-2m+1$. Xác định $m$ sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành một cấp số cộng

Nhận xét: Do đồ thị cắt trục hoành tại $4$ điểm nên $4$ điểm đó cũng chính là nghiệm của phương trình $y=-x^4+2mx^2-2m+1$, vậy bài toán trên có thể viết như sau:

Tìm $m$ sao cho phương trình $-x^4+2mx^2-2m+1$ có $4$ nghiệm lập thành 1 cấp số cộng

GIẢI

$-x^4+2mx^2-2m+1$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}=2\\ x^{2}=2-2m \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\\ x=\sqrt{2-2m}\\ x=-\sqrt{2-2m} \end{bmatrix}$ (với $m<1$)

Ta có:

$y=-x^4+2mx^2-2m+1$

$\Rightarrow y'=x(-4x^{2}-4m)$

$y'=0\Leftrightarrow x(-4x^{2}-4m)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m} \end{bmatrix}$

Vậy ta có điều kiện của $m$ là: $0<m<1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}>\sqrt{2-2m}>0$

$\Leftrightarrow -\sqrt{2}<\sqrt{2-2m}<0$

Vậy, ta có cấp số xếp theo thứ tự tăng dần là:

$-\sqrt{2};-\sqrt{2-2m};\sqrt{2-2m};\sqrt{2}$

Để dãy trên là CSC $\Leftrightarrow -\sqrt{2}+3d=\sqrt{2}$ (với $d$ là công sai)

$\Leftrightarrow d=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Lúc này, dễ tính được $m=\frac{8}{9}$