Chủ đề này có 2 trả lời

[huou202]

Cho a,b,c>0.Tìm max của
P=$\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

[Tham Lang]

Giải :

Ta có :
$$1 -P = \dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$$
$$= \dfrac{1}{3}\left (\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\right )\ge\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{3\left (a+b+c+3\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+3\sqrt{ca}\right )}$$ $$=\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b})^2}{3\left ((\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right )} \ge \dfrac{(a\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{3.\dfrac{4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{3}}$$ $$=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow P \le \dfrac{3}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 10-04-2012 - 20:23

[KietLW9]

Ta có: $P=\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{bc}}+3}+\frac{1}{\frac{b}{\sqrt{ca}}+3}+\frac{1}{\frac{c}{\sqrt{ab}}+3}$ 

Đặt $(\frac{a}{\sqrt{bc}},\frac{b}{\sqrt{ca}},\frac{c}{\sqrt{ab}})\rightarrow (x,y,z)$ thì xyz = 1 và biểu thức P trở thành: $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}$

Ta có: $\frac{3}{4}-(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3})=\frac{3xyz+3(x+y+z)+5(xy+yz+zx)-27}{4(x+3)(y+3)(z+3)}\geqq 0$ (Đúng do $3xyz+3(x+y+z)+5(xy+yz+zx)\geqslant 3+3.3\sqrt[3]{xyz}+5.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=27$)

$\Rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-04-2021 - 17:14