Trong hệ trục Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(1,2), đường chéo BD 2x+y+1=0. điểm M trên AD sao cho M,D nằm về 2 phía so với A và AM=AC. Đường thẳng có pt MC : x+y-1=0..... Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành
Bạn giải bài này như sau:
THeo giả thiết đề bài cho:
Dễ dàng chứng minh được tam giác $AMC$ cân tại $A$
Hạ đường cao $AH$ suy ra $H$ sẽ là trung điểm của MC (tính chất của tam giác cân)
Có phương trình của $MC$ là : $x+y-1=0$
Suy ra véc-tơ chỉ phương của MC là $u\overrightarrow{MC}$ là $(-1;1)$
Có $A(1;2)$ và véc-tơ chỉ phương của $MC$ dễ dàng viết được phương trình cạnh $AH$
$AH$ : $x-y+1=0$
TỪ đó ta thấy tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x-y+1=0\\ x+y-1=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=1 \end{matrix}\right.$
$H(0;1)$
Gọi $K$ là trung điểm của $AH$
Có tọa độ của $A$ và $H$ rồi áp dụng công thức trung điểm dễ dàng tính được $K(\frac{1}{2};\frac{3}{2})$
Gọi $O$ là trung điểm của $AC$
Dễ dàng chứng minh được $KO$ là đường trung bình của tam giác $AHC$
Suy ra $KO//MC$
Từ đó ta viết được phương trình chứa cạnh $KO$
$KO$ : $x+y-2=0$
Ta thấy $O$ là giao điểm của đoạn $BD$ và $KO$
Có phương trình cạnh $BD$ rồi
Suy ra tọa độ của $O$ là nghiệm của hệ :
$\left\{\begin{matrix} x+y-2=0\\ 2x+y+1=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=5 \end{matrix}\right.$
Theo tính chất hình bình hành thì $O$ là trung điểm của $AC$ nên tọa độ của $C$ là : $C(-7;8)$
Mà H lại là trung điểm của $MC$ nên suy ra tọa độ của $M(7;-6)$
Suy ra $\overrightarrow{AM}(6;-8)$
Phương trình đoạn $AM$ là: $3x-4y-45=0$
Ta thấy $D$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ nên tọa độ của $D$ là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{matrix} 3x-4y-45=0\\ 2x+y-1=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{41}{11}\\ y=\frac{-93}{11} \end{matrix}\right.$
Từ đó dễ dàng suy ra tọa độ của $B$ là $(\frac{-107}{11};\frac{17}{11})$
Vậy tọa độ các đỉnh của hình bình hành $ABCD$ là $A(1;2)$, $B(\frac{-107}{11};\frac{17}{11})$, $C(-7;8)$, $D(\frac{41}{11};\frac{-93}{11})$
P/s: mệt
