giup minh
$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2x+cos^{2}x}{1+sìn2x}$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi trongvosong, 15-04-2012 - 00:26
#2
Đã gửi 15-04-2012 - 15:29
duongtoi
-
- Thành viên
-
- 747 Bài viết
Thiếu úy
Ban đầu, $1+\sin2x=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2=2\sin^2(x+\pi/4)$
Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}.$ Ta được
$I=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{2(t-\pi/4)+\cos^2(t-\pi/4)}{2\sin^2t}{\rm d}t=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{t}{\sin^2t}{\rm d}t-\frac{\pi}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1+2\sin t\cos t}{\sin^2t}{\rm d}t$
$=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{t}{\sin^2t}{\rm d}t-\frac{\pi}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{\cos t}{\sin t}{\rm d}t$
Đến đây thì em chỉ cần tính từng tích phân này là được.
Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}.$ Ta được
$I=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{2(t-\pi/4)+\cos^2(t-\pi/4)}{2\sin^2t}{\rm d}t=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{t}{\sin^2t}{\rm d}t-\frac{\pi}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1+2\sin t\cos t}{\sin^2t}{\rm d}t$
$=\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{t}{\sin^2t}{\rm d}t-\frac{\pi}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{4}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t+\frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{\cos t}{\sin t}{\rm d}t$
Đến đây thì em chỉ cần tính từng tích phân này là được.
- trongvosong yêu thích
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
