CMR:$(2x+1)\sqrt{x^{2}-x+1}>(2x-1)\sqrt{x^{2}+x+1}$
Với mọi x
CMR:$(2x+1)\sqrt{x^{2}-x+1}>(2x-1)\sqrt{x^{2}+x+1}$ Với mọi x
Bắt đầu bởi linh1261997, 15-04-2012 - 13:57
#2
Đã gửi 15-04-2012 - 20:43
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5016 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Đặt $f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1}$.
Ta có
\[
f\left( { - x} \right) = \left( { - 2x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} - \left( { - 2x - 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} = f\left( x \right)
\]
Nên $f(x)$ là hàm chẵn trên $\mathbb{R}$. Vậy ta chỉ cần cm $f(x)>0,\forall x \geq 0$.
Nếu $0\leq x \leq \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-1 \leq 0 \Rightarrow -(2x-1)\sqrt{x^2+x+1} \geq 0 \Rightarrow f(x)>0$.
Nếu $x>\dfrac{1}{2}$. Ta cần cm
\[
\begin{array}{l}
\left( {2x + 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} \ge \left( {2x - 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} > 0 \\
\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)^2 \left( {x^2 - x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)^2 \left( {x^2 + x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 6x > 0:True \\
\end{array}
\]
Vậy ta có đpcm.
Đặt $f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1}$.
Ta có
\[
f\left( { - x} \right) = \left( { - 2x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} - \left( { - 2x - 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} = f\left( x \right)
\]
Nên $f(x)$ là hàm chẵn trên $\mathbb{R}$. Vậy ta chỉ cần cm $f(x)>0,\forall x \geq 0$.
Nếu $0\leq x \leq \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-1 \leq 0 \Rightarrow -(2x-1)\sqrt{x^2+x+1} \geq 0 \Rightarrow f(x)>0$.
Nếu $x>\dfrac{1}{2}$. Ta cần cm
\[
\begin{array}{l}
\left( {2x + 1} \right)\sqrt {x^2 - x + 1} \ge \left( {2x - 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} > 0 \\
\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)^2 \left( {x^2 - x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)^2 \left( {x^2 + x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 6x > 0:True \\
\end{array}
\]
Vậy ta có đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
