Chủ đề này có 3 trả lời

[Mai Duc Khai]

Bài 1: Cho:\[x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}\]
Chứng minh rằng với mọi $a \ge \frac{1}{8}$ thì x là một số tự nhiên
Bài 2: Với $|x|>2$. Hãy rút gọn biểu thức sau:
\[A = \sqrt[3]{{\frac{{{a^3} - 3a + \left( {{a^2} - 1} \right)\sqrt {{a^2} - 4} }}{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{{a^3} - 3a - \left( {{a^2} - 1} \right)\sqrt {{a^2} - 4} }}{2}}}\]
Bài 3: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$.Chứng minh
\[N = \frac{{\sqrt {\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)} - \sqrt {1 + {y^2}} - \sqrt {1 + {z^2}} }}{{yz}} + \frac{{\sqrt {\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)} - \sqrt {1 + {z^2}} - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{zx}} + \frac{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} - \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 + {y^2}} }}{{xy}} = 0\]
Bài 4:Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho: $P = \sqrt {{x^2} + 19x + 93}$ là một số hữu tỉ

[Mai Duc Khai]

Không có ai làm thì chán quá Mình đành làm một bài vậy
Bài 2:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
M = \sqrt[3]{{\frac{{{a^3} - 3a + \left( {{a^2} - 1} \right)\sqrt {{a^2} - 4} }}{2}}}\\
N = \sqrt[3]{{\frac{{{a^3} - 3a - \left( {{a^2} - 1} \right)\sqrt {{a^2} - 4} }}{2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow MN = 1\]
Khi đó ta có:\[P = M + N \Leftrightarrow {P^3} = {\left( {M + N} \right)^3} = {M^3} + {N^3} + 3MN\left( {M + N} \right) = {a^3} - 3a + 3P\]
\[ \Leftrightarrow {P^3} - 3P - {a^3} + 3a = 0 \Leftrightarrow \left( {P - a} \right)\left( {{P^2} + aP + {a^2} - 3} \right) = 0\left( * \right)\]
Do |a|>2 nên ta có:\[{P^2} + aP + {a^2} - 3 = {\left( {P - \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{a^2} - 4} \right) > 0\]
Vậy pt (*) bằng 0 khi: \[P - a = 0 \Leftrightarrow P = a\]

[Mai Duc Khai]

Bài 1: Cho:\[x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}\]
Chứng minh rằng với mọi $a \ge \frac{1}{8}$ thì x là một số tự nhiên

Thôi! đành trảm thêm một bài này nữa vậy:(
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
A = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}\\
B = \sqrt[3]{{a - \frac{{a + 1}}{3}\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}
\end{array} \right. \Rightarrow AB = \frac{{2a - 1}}{3}\]
Khi đó ta có: \[ \Rightarrow x = A + B \Leftrightarrow {x^3} = {A^3} + {B^3} - 3AB\left( {A + B} \right) = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} + x + 2a = 0
\end{array} \right.\]
Theo giả thiết:$a \ge \frac{1}{8} \Rightarrow {\Delta _{{x^2} + x + 2a}} = 1 - 8a$
Ta có:
\[ + a = \frac{1}{8} \to \Delta = 0 \Rightarrow x = 1\]
\[ + a > \frac{1}{8} \to \Delta < 0 \to x \in \emptyset \]
Vậy, với $a \ge \frac{1}{8}$ ta luôn có $x=1$ là số tự nhiên

[perfectstrong]

Bài 4:
Đặt $\sqrt {x^2 + 19x + 93}=\frac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \neq 0$ và (a;b)=1.
\[
\begin{array}{l}
\frac{a}{b} = \sqrt {x^2 + 19x + 93} \Leftrightarrow a^2 = b^2 x^2 + 19b^2 x + 93b^2 \\
\Leftrightarrow b^2 x^2 + 19b^2 x + 93b^2 - a^2 = 0 \\
\Delta _x \ge 0 \Leftrightarrow 361b^4 - 4b^2 \left( {93b^2 - a^2 } \right) = 4a^2 b^2 - 11b^2 = b^2 \left( {4a^2 - 11} \right) \\
\end{array}
\]
Tồn tại $x$ hữu tỷ $\Rightarrow \Delta$ là số chính phương
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow 4a^2 - 11 = k^2 \Leftrightarrow \left( {2a - k} \right)\left( {2a + k} \right) = 11 \\
2a - k < 2a + k \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2a - k = - 11 \\
2a + k = - 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 3 \\
k = 5 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
2a - k = 1 \\
2a + k = 11 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3 \\
k = 5 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{ - 19b^2 \pm 5b}}{{2b^2 }}\left( {b \in Z,b \ne 0} \right) \\
\end{array}
\]
Bài 3:
Bài này có cách Lượng giác hóa đẹp hơn, nhưng làm cách THCS vậy.
\[
x + y + z = xyz \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} = 1
\]
Đặt $a = \frac{1}{{yz}};b = \frac{1}{{xz}};c = \frac{1}{{xy}} \Rightarrow a + b + c = 1$ và $a,b,c>0$
\[
\Rightarrow x^2 = \frac{a}{{bc}};y^2 = \frac{b}{{ac}};z^2 = \frac{c}{{ab}}
\]
Xét
\[
\sqrt {1 + y^2 } = \sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} = \sqrt {\frac{{ac + b}}{{ac}}} = \sqrt {\frac{{ac + b\left( {a + b + c} \right)}}{{ac}}} = \sqrt {\frac{{\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)}}{{ac}}}
\]
Tương tự
\[
\begin{array}{l}
\sqrt {1 + z^2 } = \sqrt {\frac{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}{{ab}}} \Rightarrow \sqrt {1 + y^2 } .\sqrt {1 + z^2 } = \frac{{b + c}}{a}\sqrt {\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{bc}}} = \frac{{1 - a}}{a}\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} \\
\Rightarrow \frac{{\sqrt {\left( {1 + y^2 } \right)\left( {1 + z^2 } \right)} - \sqrt {1 + y^2 } - \sqrt {1 + z^2 } }}{{yz}} = a\left[ {\frac{{1 - a}}{a}\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} - \sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} - \sqrt {1 + \frac{c}{{ab}}} } \right] \\
= \left( {1 - a} \right)\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} - a\sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} - a\sqrt {1 + \frac{c}{{ab}}} = \sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} - a\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} + \sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} + \sqrt {1 + \frac{c}{{ab}}} } \right) \\
\Rightarrow N = \sum {\left[ {\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} - a\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} + \sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} + \sqrt {1 + \frac{c}{{ab}}} } \right)} \right]} = \left[ {1 - \left( {a + b + c} \right)} \right]\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{{bc}}} + \sqrt {1 + \frac{b}{{ac}}} + \sqrt {1 + \frac{c}{{ab}}} } \right) = 0 \\
\end{array}
\]