Bài 52:
Cho $\triangle ABC, AB<AC$ có ba góc nhọn và nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BD cùa $\triangle ABC$. Đường thẳng qua D và song song MA cắt AB tại E.
a) Chứng minh tg BCDE nội tiếp, xác định tâm O' của đường tròn.
b) Tia OO' cắt (O) tại N và AN cắt BC tại H. Chứng minh AN là phân giác của $\widehat{BAC}$ và $MH^{2}= MB.MC$.
c) Cho $\widehat{BAC}= 60^{0}$, Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Chứng minh :$\frac{IB}{ID}.\frac{KC}{KE}=\frac{IB}{ID}+\frac{KC}{KE}$
d) Cho $\widehat{BAC}= 60^{0}$, gọi F là giao điểm BD và CE. Chứng minh $OF = AC - AB$.
Hình bài 52 :
SOLUTION:
a) $\angle AED=\angle MAB=\angle ACB$ (t/c 2 góc so le trong và t/c góc tạo bởi tt và dây cung).
$\Rightarrow$ Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn.
Lại có $\angle BDC=90$ nên tâm O chính là trung điểm BC.
b) Dễ thấy$M{A^2} = MB.MC$
Cần cm MA=MH
$\angle MAH=\angle ACN=\angle AHB(\Delta ABH\sim \Delta ANC)$
$\Rightarrow$ ĐPCM.
c) Áp dụng t/c đường p/g và quan hệ giữa cạnh và góc, tính được:
$\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{KC}}{{KE}} = 2$
d) Gọi J là giao của (A;AB) và AC. Vì : $\widehat{BAC}=60^{o}\Rightarrow$$\widehat{BFC}=\widehat{BOC}=\widehat{BJC}=120^{o}\Rightarrow BOCN$ là hình thoi $\Rightarrow B, E, O, J, C \in (N;R)$
$\Rightarrow \widehat{OFC}=\widehat{OBC}=\widehat{OJA}=30^{o}=\widehat{ACE}\Rightarrow$ FOJC là hình thang cân nên JC = FO.
Mặt khác : $JC=AC-AJ\Rightarrow$ đpcm.
--------
P/S: Câu d posted bởi hoclamtoan, mình xin trình bày trong bài của mình cho dễ nhìn, xin phép hoclamtoan nhé !
-----------------
Mod: Cậu là mem có kinh nghiệm nên đừng phạm lỗi về $\LaTeX$ nữa nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 09:29
