Bài 44:
Cho $\triangle ABC(AB<AC) $có ba góc nhọn nội tiếp (O) và ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại K, I là trung điểm AH. Từ K vẽ đt $d || BC$ cắt AB, BE lấn lượt tại M, N.
a) Chứng minh K là trung điểm MN.
b) Chứng minh K là trực tâm $\triangle BIC$.
c) Khi SABC = 3 SABH , chứng minh $ \triangle ABC$ có $ \tan A + \tan B = 2\tan C$
a) Chứng minh K là trung điểm MN.Hướng giảiCần chứng minh KM = KN
$\Rightarrow$ kiếm các cặp tam giác đồng dạng có chứa KM, KN. Từ tỉ số đồng dạng suy ra bằng nhau
Dữ kiện cho: MN//BC
$\Rightarrow$ $\Delta AMK \sim \Delta ABD$
$\Rightarrow$$\frac{MK}{BD}=\frac{AK}{AD}$ (1)
Lại có $\Delta HKN \sim \Delta HDB$
$\Rightarrow$ $\frac{KN}{BD}=\frac{KH}{KD}$ (2)
Từ (1) và (2) => cần cm $\frac{AK}{AD} = \frac{KH}{KD}$
Nhận thấy các đoạn thẳng này đều nằm trên cùng 1 đường thẳng, có thể sử dụng tính chất của đường phân giác trong và phân giác ngoài
$\Rightarrow$ Cm: EH là tia phân giác của góc KED (quá dễ)
AE vuông góc với EH $\Rightarrow$ AE là tia phân giác ngoài của góc KED.
VIết các tỉ lệ sẽ thu được $\frac{AK}{AD} = \frac{KH}{KD}$
b) Chứng minh K là trực tâm $\triangle BIC$.Câu này đã được giải ở đây, post 83
http://forum.mathsco...?t=27989&page=6c) Khi SABC = 3 SABH , chứng minh $ \triangle ABC$ có $ \tan A + \tan B = 2\tan C$S
ABC = 3 S
ABH => CF = 3HF => CH = 2HF
$\widehat{BAC}=\widehat{BHF}$
$\Rightarrow$ tan A = $\frac{BF}{HF}$
$\widehat{ABC}=\widehat{AHF}$
$\Rightarrow$ tan B = $\frac{AF}{HF}$
tan A + tan B = $\frac{BF}{HF}$ + $\frac{AF}{HF}$ = $\frac{AB}{HF}$ = $\frac{2AB}{HC}$
Ta có tan C = $\frac{BE}{CE}$
Xét tam giác ABE và HCE có 2 góc bằng nhau
$\Rightarrow$ đồng dạng
$\Rightarrow$$\frac{AB}{HC} = \frac{BE}{CE}$
$\Rightarrow$ dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 09:20
