Chủ đề này có 4 trả lời

[socnau295]

Tính tích phân:

Bài 1
$\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\frac{4sinx}{(sinx+cosx)^{2}dx}$

Bài 2

$\int_{\frac{\prod }{6}}^{\frac{\prod }{3}}tanxtan(x+\frac{\prod }{6})dx$

[Crystal]

Bài 1. Sử dụng tính chất: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( {a + b - x} \right)} dx\]
Suy ra: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx\]
Do đó: \[2I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x + 4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{4}{{\sin x + \cos x}}} dx\]
Đến đây thì OK rồi.

[Crystal]

Tính tích phân:
Bài 2
$\int_{\frac{\prod }{6}}^{\frac{\prod }{3}}tanxtan(x+\frac{\prod }{6})dx$

Để giải quyết bài 2, mình sẽ trình bày bài toán tổng quát sau.

Bài toán tổng quát: Tính tích phân \[I=\int {\tan x\tan \left( {x + a} \right)} dx\]

* Biến đổi $I$ về dạng: \[I = \int {\tan x\tan } \left( {x + a} \right)dx = \int {\frac{{\sin x\sin \left( {x + a} \right)}}{{\cos x\cos \left( {x + a} \right)}}} dx\]
\[ = \int {\left( {\frac{{\cos x\cos \left( {x + a} \right) + \sin x\sin \left( {x + a} \right)}}{{\cos x\cos \left( {x + a} \right)}} - 1} \right)} dx\]
\[ = \int {\frac{{\cos x}}{{\cos x\cos \left( {x + a} \right)}}} dx - \int {dx} = \cos a\int {\frac{{dx}}{{\cos x\cos \left( {x + a} \right)}}} - x+C\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
* Để tính $(1)$ ta lại đi đến một bài toán tổng quát thứ hai.

Tính tích phân \[J = \int {\frac{{dx}}{{\cos \left( {x + b} \right)\cos \left( {x + c} \right)}}} \]
- Sử dụng đồng nhất thức:
\[1 = \frac{{\sin \left( {b - c} \right)}}{{\sin \left( {b - c} \right)}} = \frac{{\sin \left[ {\left( {x + b} \right) - \left( {x + c} \right)} \right]}}{{\sin \left( {b - c} \right)}}\]
- Khi đó: \[J = \int {\frac{{dx}}{{\cos \left( {x + b} \right)\cos \left( {x + c} \right)}} = \frac{1}{{\sin \left( {b - c} \right)}}} \int {\frac{{\sin \left[ {\left( {x + b} \right) - \left( {x + c} \right)} \right]}}{{\cos \left( {x + b} \right)\cos \left( {x + c} \right)}}} dx\]
\[ = \frac{1}{{\sin \left( {b - c} \right)}}\int {\frac{{\sin \left( {x + b} \right)\cos \left( {x + c} \right) - \cos \left( {x + b} \right)\sin \left( {x + c} \right)}}{{\cos \left( {x + b} \right)\cos \left( {x + c} \right)}}} dx\]
\[ = \frac{1}{{\sin \left( {b - c} \right)}}\left[ {\int {\frac{{\sin \left( {x + b} \right)}}{{\cos \left( {x + b} \right)}}} dx - \int {\frac{{\sin \left( {x + c} \right)}}{{\cos \left( {x + c} \right)}}} dx} \right]\]
\[ = \frac{1}{{\sin \left( {b - c} \right)}}\left( { - \ln \left| {\cos \left( {x + b} \right)} \right| - \left( { - \ln \left| {\cos \left( {x + c} \right)} \right|} \right)} \right) + C\]
\[ = \frac{1}{{\sin \left( {b - c} \right)}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + c} \right)}}{{\cos \left( {x + b} \right)}}} \right| + C\]
Từ đó bạn có thể dễ dàng giải quyết bài 2.

[socnau295]

Bài 1. Sử dụng tính chất: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( {a + b - x} \right)} dx\]
Suy ra: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx\]
Do đó: \[2I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4\sin x + 4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{4}{{\sin x + \cos x}}} dx\]
Đến đây thì OK rồi.

Bạn ơi, mình hấp tấp quá tại vội đi học nên đánh sai bài toán rồi. huhu. Làm mất công, mất thời gian bạn ngồi giải rồi lại gửi bài lên. Cái tính đoản của mình mãi không chữa được. Xin lỗi bạn nha. Nhưng dù sao cũng biết một cách làm mới. Bạn có thể giải lại cho mình bài toán này được không. Mình ngồi nghỉ cả buổi luôn mà không ra. Đây là bài toán chính xác.

$\int_{0}^{\frac{\prod }{3}}\frac{4sinxdx}{(sinx+cosx)^{3}}$

Cảm ơn bạn nhiều lắm. Bạn giải rất hay, rất cẩn thẩn, tỉ mỉ. Chắc bạn học giỏi toán lắm nhỉ. Mong bạn chỉ bảo mình nhiều hơn chứ mình ngu toán quá. huhu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi socnau295: 17-04-2012 - 21:08

[duongtoi]

Biến đổi $\sin x+\cos x=\sqrt2 \sin(x+\frac{\pi}{4})$.
Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}$ suy ra $\sin x=\sin(t-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt2}\left ( \sin t-\cos t \right )$
Bây giờ em thay vào tích phân ban đầu sẽ được tích phân
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{12}}\frac{4(\sin t-\cos t)}{4\sin^3t}{\rm d}t=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{12}}\frac{1}{\sin^2t}{\rm d}t -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{12}}\frac{{\rm d}\sin t}{\sin^3t} =KQ$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 17-04-2012 - 21:08