Chủ đề này có 4 trả lời

[simplekolor]

Bài toán đặt ra là tính tích phân sau:

$ I = \int_{2}^{3} \frac{1}{x\ln{x}} $

Có 1 lời giải bằng tích phân từng phần như sau:

Đặt $ u = \frac{1}{\ln{x}} \Rightarrow du = -\frac{dx}{x \ln^2{x}}$

$dv = \frac{dx}{x}$ chọn $v= \ln{x}$

Từ đó ta có $ I = 1 + I \Rightarrow 0 = 1$?????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 20-04-2012 - 00:50

[Crystal]

Bài toán đặt ra là tính tích phân sau:

$ I = \int_{2}^{3} \frac{1}{x\ln{x}} $

Có 1 lời giải bằng tích phân từng phần như sau:

Đặt $ u = \frac{1}{\ln{x}} \Rightarrow du = -\frac{dx}{x \ln^2{x}}$

$dv = \frac{dx}{x}$ chọn $v= \ln{x}$

Từ đó ta có $ I = 1 + I \Rightarrow 0 = 1$?????

Trả lời:

1. Trong phương pháp tích phân từng phần, việc chọn nguyên hàm của $dv = f\left( x \right)dx$ là có nhiều giá trị, nó phụ thuộc vào giá trị hằng số $C$, ta cần phải chọn một nguyên hàm phù hợp.

Ở bài toán trên nếu chọn $v = \ln x$ thì vô tình bạn đã dẫn đến một kết quả làm cho ta nghi ngờ và đó là một kết quả sai.

Nếu chọn $v = \ln x + 1$ thì kết quả sẽ khác.

2. Nhưng không phải lúc nào ta cũng phải áp dụng máy móc các phương pháp tính tích phân như thế đâu. Đối với những tích phân đơn giản, ta có thể tìm được ngay nguyên hàm của nó là gì.

Bài toán trên cũng nằm trong trường hợp này. Dễ dàng có được nguyên hàm của $\frac{1}{{x\ln x}}$ là $\ln \left| {\ln \left| x \right|} \right| + C$.

Do đó: \[\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\ln x}}dx = \left. {\ln \left| {\ln \left| x \right|} \right|} \right|} _2^3 = \ln \left( {\ln 3} \right) - \ln \left( {\ln 2} \right) = \boxed{\ln \dfrac{{\ln 3}}{{\ln 2}}}\]

[simplekolor]

Trả lời:

1. Trong phương pháp tích phân từng phần, việc chọn nguyên hàm của $dv = f\left( x \right)dx$ là có nhiều giá trị, nó phụ thuộc vào giá trị hằng số $C$, ta cần phải chọn một nguyên hàm phù hợp.

Ở bài toán trên nếu chọn $v = \ln x$ thì vô tình bạn đã dẫn đến một kết quả làm cho ta nghi ngờ và đó là một kết quả sai.

Nếu chọn $v = \ln x + 1$ thì kết quả sẽ khác.

2. Nhưng không phải lúc nào ta cũng phải áp dụng máy móc các phương pháp tính tích phân như thế đâu. Đối với những tích phân đơn giản, ta có thể tìm được ngay nguyên hàm của nó là gì.

Bài toán trên cũng nằm trong trường hợp này. Dễ dàng có được nguyên hàm của $\frac{1}{{x\ln x}}$ là $\ln \left| {\ln \left| x \right|} \right| + C$.

Do đó: \[\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\ln x}}dx = \left. {\ln \left| {\ln \left| x \right|} \right|} \right|} _2^3 = \ln \left( {\ln 3} \right) - \ln \left( {\ln 2} \right) = \boxed{\ln \dfrac{{\ln 3}}{{\ln 2}}}\]

1/ Bài toán này rất dễ và cách làm ở phần 2 bạn nói thì hầu như ai cũng nghĩ ra. Cái sự việc "ta cũng phải áp dụng máy móc các phương pháp tính tích phân" là để thử xem các bạn có vững chắc về lý thuyết tích phân không thôi.

2/ Chỗ sai của bài này hoàn toàn không phải là việc chọn v = lnx, nếu chọn v = lnx +1 hay c thì kết quả hoàn toàn không-khác-biệt (nếu chưa nhận ra điều này thì xem lại lý thuyết trước khi bàn tiếp nhé ) Và thực tế thì chỗ sai ở bài giải trên là khá dễ nhận ra, lời giải trên chỉ như 1 bài ngụy biện bình thường để đọc cho vui.

3/ Ý định mình đưa ra câu hỏi này là: nếu đây là tính tích phân bất định thì ta sẽ giải thích điều "khó hiểu" trên như thế nào.

[Scientists]

Theo em thấy thì ở bài này sai ở viếc giản ước: $\frac{1}{ln(x)}ln(x)\left\{\begin{matrix} 3\\ 2 \end{matrix}\right. =1$ (em không biết gõ cái thẳng thẳng như thế nào nên cho em dùng tạm cái này nha) chứ không phải sai ở phần nguyên hàm như anh Xusinst nói.Theo em nghĩ thì không rút gọn được chỗ đó vì đây là một dải số chứ không phải 1 số cố định. (Em nghĩ vậy không biết đúng không, rõ ràng đây là một bài rất dễ và cơ bản, không ngờ lại có vấn đề phức tạp vậy . Đúng là Toán học muôn màu )

[simplekolor]

Đúng rồi bạn à
Nếu để cận vào thì sẽ rất dễ giải thích được, nhưng nếu không bỏ cận vào thì sẽ không thể giải thích bằng cách đó được. Mình muốn chỉ ra chỗ dấu bằng ở bài tích phân không xác định các bạn hay viết đó không hẳn là dấu đẳng thức thông thường mà là dấu đẳng thức tập hợp