Chủ đề này có 1 trả lời

[iloveyou123]

Tìm m để phương trình: $x^{2}-2mx-m+2$=0 có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức: $(x_{1}x_{2})^{4} + \frac{1}{16}(x_{1}+x_{2})^{4}$ đạt giá trị nhỏ nhất

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Tìm m để phương trình: $x^{2}-2mx-m+2$=0 có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức: $(x_{1}x_{2})^{4} + \frac{1}{16}(x_{1}+x_{2})^{4}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: Biệt thức $\Delta' \geq 0$

$\Leftrightarrow (- m)^2 - (-m + 2) \geq 0 \Leftrightarrow m^2 + m - 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \geq 1\\m \leq -2\end{array}\right.$

Theo định lý Viets, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 + x_2 = 2m\\x_1.x_2 = - m + 2\end{array}\right.$

Do đó:
$P = (x_{1}x_{2})^{4} + \frac{1}{16}(x_{1}+x_{2})^{4} = (2 - m)^4 + \dfrac{1}{16}(2m^4) = (2 - m)^4 + m^4$
Mặt khác, ta có:
$A^4 + B^4 \geq \dfrac{(A^2 + B^2)^2}{2} \geq \dfrac{(A + B)^4}{8}$
Áp dụng BĐT nói trên với A = 2 - m; B = m, ta có:
$P \geq \dfrac{(m + 2 - m)^4}{8} = \dfrac{2^4}{8} = 2$
Vậy $min_{P} = 2$. Dấu "=" xảy ra khi m = 1 (thỏa mãn điều kiện có nghiệm của PT).