3 replies to this topic

[Math Is Love]

Trên bảng đen viết ba số $\sqrt{2};2;\frac{1}{\sqrt{2}}$. Ta bắt đầu thực hiện trò chơi: Tại mỗi bước, ta chọn hai số trên bảng, chẳng hạn a và b; xóa chúng và thay vào 2 số $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ và $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$. Chứng minh rằng dù chơi bao nhiêu lần thì ta cũng không thể có đồng thời ba số $\frac{1}{2\sqrt{2}} ;\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}$
(đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên DHSPHN 2010)

[perfectstrong]

Gợi ý: Tổng bình phương các số trên bảng là bất biến.

Nhận xét: khi $\left( {a;b} \right) \mapsto \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }};\frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }}} \right)$ thì
\[
\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 = a^2 + b^2
\]
Suy ra, tổng bình phương các số trên bảng là bất biến.
Ban đầu, tổng bình phương các số trên bảng là
\[
\left( {\sqrt 2 } \right)^2 + 2^2 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 = \frac{{13}}{2}
\]
Trong khi đó
\[
\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2 + \left( {\sqrt 2 } \right)^2 + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2 = \frac{{41 + 16\sqrt 2 }}{8} \ne \frac{{13}}{2}
\]
Vậy ta có đpcm.

Edited by perfectstrong, 22-04-2012 - 09:45.

[ducthinh26032011]

Gợi ý: Tổng bình phương các số trên bảng là bất biến.

Anh Hân giải luôn bài trên đi ạ!

[Math Is Love]

Em hiểu rồi