Tìm số dư của $(2+\sqrt{3})^{2012}$ khi chia cho 3
#2
Đã gửi 22-04-2012 - 12:22
ninhxa
-
- Thành viên
-
- 139 Bài viết
Trung sĩ
Đề phải là: Tìm số dư của $\left [ (2+\sqrt{3})^{2012} \right ]$ chứ. Số kia đâu có nguyên đâu.
Đặt $2+\sqrt3 =x$ ; $2-\sqrt3 =y$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=4\\x.y=1 \end{matrix}\right.$
Đặt $S_n=x^n+y^n$
Có: $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}) =4(x^{n-1}+y^{n-1})-(x^{n-2}+y^{n-2})$
$\Rightarrow S_n=4S_{n-1}-S_{n-2}=3S_{n-1}+S_{n-1}-S_{n-2}$
$=3S_{n-1}+4S_{n-2}-S_{n-3}-S_{n-2}=3S_{n-1}+3S_{n-2}-S_{n-3}$
$\Rightarrow S_n\equiv -S_{n-3} (mod 3) \Rightarrow S_{2012}\equiv S_2 (mod 3)$
Mà $S_2\equiv 2 (mod 3) \Rightarrow S_{2012}\equiv 2 (mod 3)$
Lại có $S_{2012}=(2+\sqrt{3})^{2012}+(2-\sqrt{3})^{2012}$ mà $0 < (2-\sqrt{3})^{2012}<1$
Nên $S_{2012}=\left [ (2+\sqrt{3})^{2012} \right ]$
$\Rightarrow \left [ (2+\sqrt{3})^{2012} \right ]$ chia 3 dư 2
Đặt $2+\sqrt3 =x$ ; $2-\sqrt3 =y$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=4\\x.y=1 \end{matrix}\right.$
Đặt $S_n=x^n+y^n$
Có: $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}) =4(x^{n-1}+y^{n-1})-(x^{n-2}+y^{n-2})$
$\Rightarrow S_n=4S_{n-1}-S_{n-2}=3S_{n-1}+S_{n-1}-S_{n-2}$
$=3S_{n-1}+4S_{n-2}-S_{n-3}-S_{n-2}=3S_{n-1}+3S_{n-2}-S_{n-3}$
$\Rightarrow S_n\equiv -S_{n-3} (mod 3) \Rightarrow S_{2012}\equiv S_2 (mod 3)$
Mà $S_2\equiv 2 (mod 3) \Rightarrow S_{2012}\equiv 2 (mod 3)$
Lại có $S_{2012}=(2+\sqrt{3})^{2012}+(2-\sqrt{3})^{2012}$ mà $0 < (2-\sqrt{3})^{2012}<1$
Nên $S_{2012}=\left [ (2+\sqrt{3})^{2012} \right ]$
$\Rightarrow \left [ (2+\sqrt{3})^{2012} \right ]$ chia 3 dư 2
- perfectstrong, hola0905, Bong hoa cuc trang và 2 người khác yêu thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
