4 replies to this topic

[kieumy]

Mong mọi người quan tâm theo dõi và chỉ giúp mình những bài sau đây (trong sách Giải Tích Hàm do thầy Đặng Đức Trọng chủ biên), mình sẽ lần lượt đưa ra lời giải và xin mọi người cho mình những góp ý nhé, thanks mọi người nhiều!

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.


PS: ơ..chủ đề mình gõ thiếu 1 dấu $, làm sao sửa bây giờ? hic..

Edited by phuc_90, 26-04-2012 - 02:01.

[kieumy]

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Giải:
+ Ta có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x,y)=d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)$

$\Rightarrow \varphi(x,y)-d(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(1)$

+ Ta cũng có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x_0,y_0)=d(x_0,y_0) \leq d(x_0,x)+d(x,y)+d(y,y_0)$

$\Rightarrow \varphi(x_0,y_0)-d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x_0,y_0)-\varphi(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều cần chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ liên tục trên $ExE$:

$\varphi$ liên tục trên $ExE \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: d((x,y),(x_0,y_0)) < \delta \Rightarrow \left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \varepsilon $

Theo chứng minh trên ta đã có:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)$

$\leq \sqrt{2} \sqrt{d^2(x,x_0)+d^2(y,y_0)}=\sqrt{2}. d((x,y),(x_0,y_0)) < \sqrt{2}.\delta$

Do đó nếu ta chọn: $\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ thì thay vào hệ thức trên ta được:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \sqrt{2} \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} =\varepsilon$. Do đó $\varphi$ liên tục trên $ExE$.

Edited by kieumy, 23-04-2012 - 19:55.

[kieumy]

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Giải:

$\forall x, y \in E $, ta có: $\left \| x \right \|=\left \| x-y+y \right \| \leq \left \| x-y \right \|+\left \| y \right \|$

$\Rightarrow \left \| x \right \|-\left \| y \right \| \leq \left \| x-y \right \|$

hay: $\varphi(x)-\varphi(y) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(1)$

Ta cũng có: $\left \| y \right \|=\left \| y-x+x \right \| \leq \left \| y-x \right \|+\left \| x \right \|$

$\Rightarrow \left \| y \right \|-\left \| x \right \| \leq \left \| x-y \right \|$ (vì $\left \| x-y \right \|=\left \| y-x \right \|$)

hay: $\varphi(y)-\varphi(x) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$:

$\varphi$ là hàm liên tục trên $E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: \left \| x-x_0 \right \| < \delta \Rightarrow \left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | < \varepsilon \,\,\,(3)$

Chọn $\delta =\varepsilon$. Theo chứng minh trên $\left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | \leq \left \| x-x_0 \right \| < \delta = \varepsilon$

Vậy $(3)$ được chứng minh.

[kieumy]

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Giải:

a) CMR: $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

$\forall x, y \in E; a \in A$ ta có:

$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a) \leq d(x,y) +\inf_{a\in A}d(y,a)$ hay $\varphi(x)-\varphi(y) \leq d(x,y) \,\,\,(1)$

Tương tự: $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(y,a) \leq d(y,x) +\inf_{a\in A}d(x,a)$

hay $\varphi(y)-\varphi(x) \leq d(y,x)=d(x,y) \,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều phải chứng minh.

b) CMR: $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Chiều thuận: $\varphi(x)=0\Rightarrow x\in \overline{A}$:

$\varphi(x)=0 \Rightarrow d(x,A)=0 \Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a)=0 $

$\Rightarrow \exists (a_n) \subset A$ sao cho $a_n \to x$ khi $ n \to \infty $

$ \Rightarrow x \in \overline{A} $ (tính chất của bao đóng).

Chiều đảo: $x\in \overline{A} \Rightarrow \varphi(x)=0$:

$ x \in \overline{A} $ là bao đóng của $A$ nên $ \exists (x_n) \subset A: x_n \longrightarrow x$

$\Rightarrow \forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: d(x_n,x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \inf_{x_n\in A}d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\,\forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \varphi(x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\, n \geq n_0 \Rightarrow \varphi(x)=0.$

Edited by kieumy, 30-04-2012 - 07:55.

[phuc_90]

$\inf_{a\in A}d(x,a)=0 \Rightarrow d(x,a)=0$ là không chắc chắn đúng. Lấy ví dụ đơn giản nhé, đó là ta xét tập $A=(0,1)$ thì đương nhiên $inf A =0$ mà các phần tử của $A$ đều lớn hơn 0 ( nếu là min thì chiều suy ra là đúng @_^) )

$\inf_{a\in A}d(x,a)=0$ chỉ suy ra được là $ \exists (a_n) \subset A$ sao cho $a_n \to x$ khi $ n \to \infty $