Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài 1. A sequence $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_n,\ldots $ of natural numbers is defined by the rule
\[ a_{n+1}=a_n+b_{n}\ (n=1,2,\ldots) \] where $ b_{n} $ is the last digit of $a_n$ . Prove that such a sequence contains infinitely many powers of $2$ if and only if $ a_{1} $ is not divisible by $5$.

Bài 2. Find all quadruples $ (a,b,c,d) $ of positive real numbers such that $ abcd=1,a^{2012}+2012b=2012c+d^{2012} $ and $ 2012a+b^{2012}=c^{2012}+2012d $.

Bài 3. In triangle $ABC$ the midpoint of $BC$ is called $M$. Let $P$ be a variable interior point of the triangle such that $ \angle CPM=\angle PAB $. Let $ \Gamma $ be the circumcircle of triangle $ABC$. The line $MP$ intersects $ \Gamma $ a second time at $Q$. Define $R$ as the reflection of $P$ in the tangent to $ \Gamma $ at $B$. Prove that the length $ |QR| $ is independent of the position of $P$ inside the triangle.

Bài 4. Yesterday, $ n\ge 4 $ people sat around a round table. Each participant remembers only who his two neighbours were, but not necessarily which one sat on his left and which one sat on his right. Today, you would like the same people to sit around the same round table so that each participant has the same two neighbours as yesterday (it is possible that yesterday’s left-hand side neighbour is today’s right-hand side neighbour). You are allowed to query some of the participants: if anyone is asked, he will answer by pointing at his two neighbours from yesterday.

a) Determine the minimal number $ f(n) $ of participants you have to query in order to be certain to succeed, if later questions must not depend on the outcome of the previous questions. That is, you have to choose in advance the list of people you are going to query, before effectively asking any question.

b) Determine the minimal number $ g(n) $ of participants you have to query in order to be certain to succeed, if later questions may depend on the outcome of previous questions. That is, you can wait until you get the first answer to choose whom to ask the second question, and so on.

[Ispectorgadget]

Bài 1. Cho dãy số $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_n,\ldots $ là các số tự nhiên thỏa mãn
\[ a_{n+1}=a_n+b_{n}\ (n=1,2,\ldots) \] với $ b_{n} $ là chữ số cuối cùng của $a_n$ . Chứng minh rằng dãy số trên gồm vô hạn lũy thừa cơ số $2$ khi và chỉ khi $ a_1 $ không chia hết cho $5$.

Bài 2. Tìm tất cả bộ bốn số thực dương $ (a,b,c,d) $ thỏa mãn : $abcd=1,a^{2012}+2012b=2012c+d^{2012}$ và $ 2012a+b^{2012}=c^{2012}+2012d $.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ gọi trung điểm của $BC$ là $M$. Cho $P$ là điểm di động trên tam giác sao cho $ \angle CPM=\angle PAB $. Cho $ \Gamma $ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $MP$ cắt $ \Gamma $ tại điểm thứ hai là $Q$. Gọi $R$ là điểm đối xứng của $P$ qua tiếp tuyến của $ \Gamma $ tại $B$.Chứng minh rằng độ dài $ |QR| $ không phụ thuộc vào vị trí điểm $P$ trong tam giác.

Bài 4: Hôm qua, $n$ người ngồi quanh 1 cái bàn tròn $(n \ge 4)$. Mỗi người chỉ nhớ được 2 người ngồi xung quanh họ, nhưng không nhất thiết chính xác là ngồi bên nào. Hôm nay, bạn muốn bọn họ ngồi lại quanh cái bàn để mỗi người họ có 2 người kế bên như hôm qua (người ngồi bên trái hôm qua có thể ngồi bên phải hôm nay). Bạn được phép hỏi một số trong bọn họ: nếu ai được hỏi, anh ta sẽ trả lời bằng cách chỉ ra 2 người ngồi kế bên hôm qua.

a) Xác định số $f(n)$ người nhỏ nhất cần phải hỏi để có thể chắc chắn thành công, cho dù các câu hỏi sau không phụ thuộc vào câu trả lời kế trước. Có nghĩa là, bạn phải chọn ra ít nhất bao nhiêu người cần chất vấn, trước khi đặt câu hỏi hiệu quả.

b) Xác định số $g(n)$ người nhỏ nhất cần phải hỏi để có thể chắc chắn thành công, nếu các câu hỏi sau có thể phụ thuộc vào câu trả lời kế trước. Có nghĩa là, bạn có thể đợi cho đến khi bạn nhận được câu trả lời đầu tiên để có thể chọn ra ai là người tiếp theo phải hỏi, và cứ như vậy.

[Karl Heinrich Marx]

Bài 1. Cho dãy số $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_n,\ldots $ là các số tự nhiên thỏa mãn
\[ a_{n+1}=a_n+b_{n}\ (n=1,2,\ldots) \] với $ b_{n} $ là chữ số cuối cùng của $a_n$ . Chứng minh rằng dãy số trên gồm vô hạn lũy thừa cơ số $2$ khi và chỉ khi $ a_1 $ không chia hết cho $5$.

Đầu tiên ta nhận xét $a_1$ chia hết cho $5$ thì $a_2$ tận cùng là $0$ và đây là dãy dừng $a_2 \vdots 5$ k thể là lũy thừa của 2 rồi.
Ta có nhận xét là với $a_1$ bất kì thì $a_2$ tận cùng là số chẵn. Tất nhiên tồn tại $k$ nào đấy để $a_k$ tận cùng là $2$ và chia hết cho 4 khi đấy $b_k$ bắt đầu tuần hoàn theo chu kì 4 và ta luôn có $a_{k+4r}=a_k+r.20$ đến đây xài pt đồng dư là có đpcm.

[Karl Heinrich Marx]

Bài 4: Hôm qua, $n$ người ngồi quanh 1 cái bàn tròn $(n \ge 4)$. Mỗi người chỉ nhớ được 2 người ngồi xung quanh họ, nhưng không nhất thiết chính xác là ngồi bên nào. Hôm nay, bạn muốn bọn họ ngồi lại quanh cái bàn để mỗi người họ có 2 người kế bên như hôm qua (người ngồi bên trái hôm qua có thể ngồi bên phải hôm nay). Bạn được phép hỏi một số trong bọn họ: nếu ai được hỏi, anh ta sẽ trả lời bằng cách chỉ ra 2 người ngồi kế bên hôm qua.

a) Xác định số $f(n)$ người nhỏ nhất cần phải hỏi để có thể chắc chắn thành công, cho dù các câu hỏi sau không phụ thuộc vào câu trả lời kế trước. Có nghĩa là, bạn phải chọn ra ít nhất bao nhiêu người cần chất vấn, trước khi đặt câu hỏi hiệu quả.

b) Xác định số $g(n)$ người nhỏ nhất cần phải hỏi để có thể chắc chắn thành công, nếu các câu hỏi sau có thể phụ thuộc vào câu trả lời kế trước. Có nghĩa là, bạn có thể đợi cho đến khi bạn nhận được câu trả lời đầu tiên để có thể chọn ra ai là người tiếp theo phải hỏi, và cứ như vậy.

Ta tạm gọi 2 người cạnh nhau là quen nhau thì ta sẽ có $n$ cặp quen nhau. Trước khi hỏi ta chưa bik được cặp quen nhau nào. Nhiệm vụ là sau $f(n)$ và $g(n)$ câu hỏi phải tìm ra $n$ cặp quen nhau.
Trước tiên ta có nhận xét thế này. Nếu đã xác định được $n-2$ cặp quen nhau rồi thì 2 cặp còn lại luôn được xác định. Và nếu còn lại 3 cặp quen thì ko thể nào tự xác định được.
Câu $a$ đáp án là $f(n)=n-3$ Thật vậy khi hỏi người đầu tiên ta giải mã được 2 cặp quen, và cứ mỗi câu hỏi sau đó ta nhận được ít nhất 1 cặp quen cho dù câu trả lời có thế nào đi nữa do đó với $n-3$ câu hỏi ta sẽ điều tra ra $n-2$ cặp quen và xác định được 2 cặp quen cuối. Giả sử $f(n)<n-3$ thì nếu rơi vào trường hợp người hỏi tiếp theo chính là câu trả lời của người trước đó dẫn đến mỗi câu hỏi ta chỉ xác định đc 1 cặp quen do đó sau $f(n)$ câu hỏi chỉ tìm được nhiều nhất $n-3$ cặp quen. Vô lí.
Câu b có lẽ mình sẽ post sau vì không chắc lắm