Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Is Love]

Cho m và n là các số nguyên dương với n>1. Đặt S=$m^{2}n^{2}-4m+4n$.
Chứng minh nếu S chính phương thì m=n

[perfectstrong]

Lời giải:
Trước hết, ta cm nhận xét sau:
Nếu $m>n$ thì $(mn^2-2)^2<n^2S<m^2n^4$(1)
Thật vậy
\[
\begin{array}{l}
\left( {mn^2 - 2} \right)^2 = m^2 n^4 - 4mn^2 + 4 = n^2 \left( {m^2 n^2 - 4m} \right) + 4 = n^2 \left( {m^2 n^2 - 4m + 4n} \right) + 4 - 4n^3 < n^2 S \\
S = m^2 n^2 - 4m + 4n < m^2 n^2 \Rightarrow n^2 S < m^2 n^4 \Rightarrow \left( 1 \right):True \\
\end{array}
\]
=======================
TH1: $m>n>1$. Theo nhận xét (1) thì
\[
n^2 S = \left( {mn^2 - 1} \right)^2 \Leftrightarrow m^2 n^4 - 4mn^2 + 4n^3 = m^2 n^4 - 2mn^2 + 1 \Leftrightarrow 4n^3 - 2mn^2 = 1
\]
Pt cuối có 2 vế khác tính chẵn lẻ nên VN nguyên.
TH2: $m<n$.
*Nếu $m\geq 2 \Rightarrow n>2$
\[
2mn > 4m \Rightarrow \left( {mn} \right)^2 < S < \left( {mn + 1} \right)^2
\]
Vô lý vì $S$ chính phương.
*Nếu $m=1$ thì
- Khi $n>2 \Rightarrow (n+1)^2<S<(n+2)^2$: vô lý vì $S$ chính phương.
- Khi $n=2 \Rightarrow S=8$: không chính phương.
TH3: $m=n \Rightarrow S=m^2n^2$: số chính phương.
Kết luận: $S$ chính phương $\Leftrightarrow m=n$