Bài 1.(2 điểm): a) Viết tổng 1 + 1.1! +2.2! + 3.3! + 4.4! +...+999.999! dưới dạng a. 10n . (a thuộc N). Tìm giá trị lớn nhất của n?
b) Tìm chữ số tận cùng của số 1313 + 66 + 20092009
a)Ta có:
$m.m!=(m+1).m!-m!=(m+1)!-m!$
Vậy:
$1 + 1.1! +2.2! + 3.3! + 4.4! +...+999.999!$
$=1+2!-1!+3!-2!+...+1000!-999!$
$=1000!$
$=999!.10^3$
(xong !, vì đề bài chỉ hỏi viết dưới dạng $a.10^n$ thôi)
Ta thấy $1000!$ có 249 số tận cùng là số 0 và chữ số 250 khác 0 (lý luận hơi dài dòng)
Thật vậy khi phân tích thành thừa số, ta thấy $1000!$ có số lũy thừa của 2 là 994 và số lũy thừa của 5 là 249
Vậy $n \geq 249$
$n_{max}=249$
__________________________________________________________________
b)Ta có:
$3^4=81$ nên $3^4$ có chữ số tận cùng là 1
Suy ra $3^{4.3}=3^{12}$ cũng có chữ số tận cùng là 1
Suy ra $3^{13}$ có chữ số tận cùng là 3
Hay $13^{13}$ có chữ số tận cùng là 3
____________________________________________
Vì $6^n$ luôn có tận cùng là 6
Suy ra $6^6$ có tận cùng là 6
____________________________________________
Vì $9^2=81$ có tận cùng là 1
Suy ra $9^{2.1004}=2^{2008}$ cũng có tận cùng là 1
Suy ra $9^{2009}$ có tận cùng là 9
Hay $2009^{2009}$ có tận cùng là 9
____________________________________________
Tóm lại:
$13^{13}+6^6+2009^{2009}$ có tận cùng là chữ số tận cùng của tổng: $3+6+9$
Mà $3+6+9=18$ suy ra $13^{13}+6^6+2009^{2009}$ có tận cùng là 8
Bài 2.(2 điểm):
a) Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số
n+1, n+5, n+7, n+13, n +17, n+25, n+ 37 đề là số nguyên tố
Xét $n$ chia hết cho 7. Khi đó: vì $n+7$ là số nguyên tố mà $n+7$ chia hết cho 7$\to n+7=7$ hay $n=0$, loại
Xét $n$ chia 7 dư 1. Khi đó: vì $n+13$ là số nguyên tố mà $n+13$ chia hết cho 7$\to n+13=7$ hay $n=-6$, loại
Xét $n$ chia 7 dư 2. Khi đó: vì $n+5$ là số nguyên tố mà $n+5$ chia hết cho 7$\to n+5=7$ hay $n=2$. Thử lại thấy không thỏa mãn
Xét $n$ chia 7 dư 3. Khi đó: vì $n+25$ là số nguyên tố mà $n+25$ chia hết cho 7$\to n+25=7$ hay $n=-18$, loại
Xét $n$ chia 7 dư 4. Khi đó: vì $n+17$ là số nguyên tố mà $n+17$ chia hết cho 7$\to n+17=7$ hay $n=-10$, loại
Xét $n$ chia 7 dư 5. Khi đó: vì $n+37$ là số nguyên tố mà $n+37$ chia hết cho 7$\to n+37=7$ hay $n=-30$, loại
Xét $n$ chia 7 dư 6. Khi đó: vì $n+1$ là số nguyên tố mà $n+1$ chia hết cho 7$\to n+1=7$ hay $n=6$. Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy $n=6$
Bài 2.(2 điểm):
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 + 391 là số chính phương
Giả sử $n^2 + 391$ là số chính phương
Đặt $n^2+391=k^2$ ($k \in Z$)
Khi đó $k^2-n^2=391$
$\to k^2-kn+kn-n^2=391$
$\to (k-n)(k+n)=391$
Mà $391=17.23$, $k+n>k-n>0$
$\to k+n=23$ và $k-n=17$
$\to 2n=6$
$\to n=3$
Thử lại thấy đúng
Vậy $n=3$
Bài 3.(2 điểm):
a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2010 là một số chính phương.
Tượng tự như bài trên, ta đặt: $n^2+2010=k^2$
$\to (k-n)(n+k)=2010$
Ta có: 2012 chia hết cho 2
Suy ra một trong hai số $k-n$ và $k+n$ chia hết cho 2 (1)
Mà $(k+n)+(k-n)=2k$ chia hết cho 2
$\to k+n$ và $k-n$ cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Cả hai số $k-n$ và $k+n$ chia hết cho 2
$\to (k-n)(n+k)$ chia hết cho 4
Mà 2012 không chia hết cho 4
Nên không tồn tại $n,k$ thỏa mãn đề bài
Hay không tồn tại $n$ thỏa mãn đề bài
Bài 3.(2 điểm):
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 32x6 + 16y6 + 4z6 = t6
Từ PT ta có: $t$ chia hết cho 2
Đặt $t=2t_0$
Khi đó PT trở thành: $8x^6+4y^6+z^6=16t_0^6$
$\to z$ chia hết cho 2
Đặt $z=2z_0$
Khi đó PT trở thành: $2x^6+y^6+16z_0^6=4t_0^6$
$\to y$ chia hết cho 2
Đặt $y=2y_0$
Khi đó PT trở thành: $x^6+32y_0^6+8z^6=2t_0^6$
$\to x$ chia hết cho 2
Đặt $x=2x_0$
Khi đó PT trở thành: $32x_0^6+8y^6+4z^6=t_0^6$
Tương tự ta lại đặt được $x_1=2x_2$, $y_1=2y_2$, $z_1=2z_2$ và $t_1=2t_2$
Suy ra .... (lại đặt tiếp)
Cuối cùng ta đặt được: $x=2^kx_k$,$y=2^ky_k$,$z=2^kz_k$,$t=2^kt_k$ với mọi $k \in N$
Điều này chỉ đúng khi $x=y=z=t=0$
Vậy $x=y=z=t=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 27-04-2012 - 20:32
