Chủ đề này có 1 trả lời

[T M]

Bài toán: Giải phương trình sau

$(x+3)(\sqrt{-x^2-8x+48})=28-x$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình:
$(x+3)(\sqrt{-x^2-8x+48})=28-x$

Giải

ĐK: $-x^2 - 8x + 48 \geq 0 \Leftrightarrow (x + 12)(x - 4) \leq 0$

$\Leftrightarrow -12 \leq x \leq 4$
Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}A = x + 3\\B = \sqrt{-x^2 - 8x + 48} \geq 0\end{array}\right. \Rightarrow A^2 + B^2 = -2x + 57$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{57 - A^2 - B^2}{2}$

Phương trình ban đầu trở thành:
$AB = 28 - \dfrac{57 - A^2 - B^2}{2} $

$\Leftrightarrow 2AB = 56 - 57 + A^2 + B^2 \Leftrightarrow (A - B)^2 = 1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} A - B = 1\\A - B = -1\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x + 3 - \sqrt{- x^2 - 8x + 48} = 1\\x + 3 - \sqrt{- x^2 - 8x + 48} = -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 2 = \sqrt{- x^2 - 8x + 48}\\x + 4 = \sqrt{-x^2 - 8x + 48}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x \geq - 2\\x^2 + 6x - 22 = 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \geq - 4\\x^2 + 8x - 16 = 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x \geq -2\\x = -3 \pm \sqrt{31}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \geq - 4\\x = -4 \pm 4\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -3 + \sqrt{31}\\x = -4 + 4\sqrt{2}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, ta lấy 2 nghiệm nói trên.