Chủ đề này có 7 trả lời

[DAYs]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$

Chứng minh:

$\frac{bc}{a^{2}+1} + \frac{ca}{b^{2}+1} +\frac{ab}{c^{2}+1} \leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DAYs: 30-04-2012 - 12:18

[phantomladyvskaitokid]

$\frac{bc}{a^2+1}\leq \frac{(b+c)^2}{4(a^2+b^2+a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2} \right )$

xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng chúng lại đc đpcm

[DAYs]

Bạn giải thích rỏ thêm đc k bạn

Khúc mà tách ra thành 2 cái tổng ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-04-2012 - 17:29

[tieulyly1995]

Đấy là áp dụng dạng khác của bất đẳng thức Cauchy :
Với cặp số thực $a,b$ và cặp số dương $x,y$, ta luôn có :
$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a }{x}= \frac{b }{y}$

[DAYs]

Bạn có thể C/M công thức trên giúp mình đc k ...Mình thanks..

[tieulyly1995]

Với cặp số thực $a,b$ và cặp số dương $x,y$, ta luôn có :
$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a }{x}= \frac{b }{y}$

Chứng minh :
Ta có :
$(a+b)^{2 }= (\frac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x} +\frac{b}{\sqrt{y}}. \sqrt{y})^{2}\leq (x+y)(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{\sqrt{x}}:\sqrt{x}= \frac{b}{\sqrt{y}}:\sqrt{y}$
hay $\frac{a}{ x} = \frac{b}{ y}$

[DAYs]

Cảm ơn tieulyly nhé ...

[bugatti]

Bạn có thể C/M công thức trên giúp mình đc k ...Mình thanks..

Đó là công thức cauchy-swcharz dạng phân thức mà!