Chủ đề này có 7 trả lời

[25081997]

Bài 1: Với a,b,c là các số dương thỏa a²+2b²+3c²=1. Tìm GTNN của A= 2a³+3b³+4c³.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25081997: 01-05-2012 - 22:08

[phantomladyvskaitokid]

Với a,b,c là các số dương thỏa a²+2b²+3c²=1. Tìm GTNN của A= 2a³+3b³+4c³.

$(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)(2+3+4)\geq (2a^2+3b^2+4c^2)^3=1$

$\Rightarrow 2a^3+3b^3+4c^3 \geq \frac{1}{3}$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

[cool hunter]

$(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)(2+3+4)\geq (2a^2+3b^2+4c^2)^3=1$

$\Rightarrow 2a^3+3b^3+4c^3 \geq \frac{1}{3}$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

Bạn dùng bđt j vậy

[Giang1994]

Hic, THCS đã xài holder, các bác chém cho các e hiểu chứ

[phantomladyvskaitokid]

ax

nhầm thành $2a^2+3b^2+4c^2=1$

hình như min phải = $\frac{12\sqrt{407}}{407}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 01-05-2012 - 21:42

[perfectstrong]

$(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)(2+3+4)\geq (2a^2+3b^2+4c^2)^3=1$

$\Rightarrow 2a^3+3b^3+4c^3 \geq \frac{1}{3}$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

Điểm rơi sai.
Lời giải+Hướng dẫn:
Giả sử điểm rơi xảy ra khi $a=m;b=n;c=p$ với $m,n,p>0$. Ta sử dụng bđt AM-GM đánh giá như sau
\[
a^3 + a^3 + m^3 \ge 3a^2 m \Rightarrow 2a^3 \ge 3ma^2 - m^3
\]
Tương tự
\[
\begin{array}{l}
2b^3 \ge 3nb^2 - n^3 \Rightarrow 3b^3 \ge \frac{9}{2}nb^2 - \frac{3}{2}n^3 \\
2c^3 \ge 3pc^2 - p^3 \Rightarrow 4c^3 \ge 6pc^2 - 2p^3 \\
\Rightarrow A \ge 3ma^2 + \frac{9}{2}nb^2 + 6pc^2 - m^3 - \frac{3}{2}n^3 - 2p^3 \\
\end{array}
\]
Mặt khác, ta cần phải sử dụng giả thiết $a^2+2b^2+3c^2=1$ nên ta sẽ có hệ như sau:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{3m:\frac{9}{2}n:6p = 1:2:3} \\
{m^2 + 2n^2 + 3p^2 = 1} \\
\end{array}} \right.
\]
Giải hệ, ta có:
\[
\left( {m;n;p} \right) = \left( {\frac{6}{{\sqrt {407} }};\frac{8}{{\sqrt {407} }};\frac{9}{{\sqrt {407} }}} \right)
\]
Thế vào ban đầu, ta sẽ có các đánh giá thích hợp và thu được
\[
\min A = \frac{{12}}{{\sqrt {407} }}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-05-2012 - 22:25

[phantomladyvskaitokid]

Điểm rơi sai.
Lời giải+Hướng dẫn:
Giả sử điểm rơi xảy ra khi $a=m;b=n;c=p$ với $m,n,p>0$. Ta sử dụng bđt AM-GM đánh giá như sau
\[
a^3 + a^3 + \frac{1}{{m^3 }} \ge \frac{{3a^2 }}{m} \Rightarrow 2a^3 \ge \frac{{3a^2 }}{m} - \frac{1}{{m^3 }}
\]
Tương tự
\[
\begin{array}{l}
2b^3 \ge \frac{{3b^2 }}{n} - \frac{1}{{n^3 }} \Rightarrow 3b^3 \ge \frac{{9b^2 }}{{2n}} - \frac{3}{{2n^3 }} \\
2c^3 \ge \frac{{3c^2 }}{p} - \frac{1}{{p^3 }} \Rightarrow 4c^3 \ge \frac{{6c^2 }}{p} - \frac{2}{{p^3 }} \\
\Rightarrow A \ge \frac{3}{m}a^2 + \frac{9}{{2n}}b^2 + \frac{6}{p}c^2 - \frac{1}{{m^3 }} - \frac{3}{{2n^3 }} - \frac{2}{{p^3 }} \\
\end{array}
\]
Mặt khác, ta cần phải sử dụng giả thiết $a^2+2b^2+3c^2=1$ nên ta sẽ có hệ như sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{m}:\frac{9}{{2n}}:\frac{6}{p} = 1:2:3 \\
m^2 + 2n^2 + 3p^2 = 1 \\
\end{array} \right.
\]
Từ pt đầu, ta rút được
\[
n = \frac{3}{4}m;p = \frac{2}{3}m
\]
Thế vào pt sau, ta có:
\[
m^2 + 2.\frac{9}{{16}}m^2 + 3.\frac{4}{9}m^2 = 1 \Leftrightarrow m = 2\sqrt {\frac{6}{{83}}} \Rightarrow \left( {m;n;p} \right) = \left( {2\sqrt {\frac{6}{{83}}} ;\frac{3}{2}\sqrt {\frac{6}{{83}}} ;\frac{4}{3}\sqrt {\frac{6}{{83}}} } \right)
\]
Thế vào ban đầu, ta sẽ có các đánh giá thích hợp và thu được
\[
\min A = \frac{{7691}}{{498\sqrt {498} }}
\]

k đọc phần trên nhưng kết quả cũng sai nốt

[vietfrog]

BĐT Holder cho 3 số thì đây.

BĐT 18

\[\left( {1 + {a^3}} \right)\left( {1 + {b^3}} \right)\left( {1 + {c^3}} \right) \ge {\left( {1 + abc} \right)^3}\]

\[\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge {\left( {amn + bny + cpz} \right)^3}\]

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Có thể tra cứu, tham khảo một số bất đẳng thức phụ cũng cách chứng minh ở BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ!