3 replies to this topic

[Poseidont]

Bài 1:Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và thỏa mãn điều kiện $\frac{AB.BC}{AD.DC}=\frac{BP}{DP}\neq 1$.
CMR ABCD là tứ giác nội tiếp

Edited by HVADN, 05-05-2012 - 19:37.

[phantomladyvskaitokid]

$AC \perp BD ; BP\neq DP \Rightarrow \widehat{ABC}\neq \widehat{ADC}$

$\frac{AB.BC. sinABC}{AD.DC. sin ADC}=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ADC}}=\frac{BP}{PD}=\frac{AB.BC}{AD.DC}$

$\Rightarrow sinABC= sin ADC \Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180 \Rightarrow ABCD nt$

[Poseidont]

Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp với hai đường chéo khác đường kính.CMR điều kiện cần và đủ để hai đường chéo của tứ giác vuông
$ AB^2+BC^2 +CD^2+ DA^2=8R^2$

Edited by HVADN, 05-05-2012 - 20:22.

[perfectstrong]

Hơi dài 1 chút nhưng thế này:
Bổ đề: Cho tứ giác ABCD thì $AC \perp BD \Leftrightarrow AB^2-AD^2=CB^2-CD^2$
======================
Vẽ đường kính AE.
\[
\begin{array}{l}
AC \bot BD \Leftrightarrow AB^2 - AD^2 = CB^2 - CD^2 \\
\Leftrightarrow AB^2 + CD^2 = AD^2 + CB^2 \\
\Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2\left( {AD^2 + BC^2 } \right) \\
\Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2\left( {4R^2 - DE^2 + BC^2 } \right) \\
\Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 8R^2 + 2\left( {BC^2 - DE^2 } \right)\left( 1 \right) \\
\end{array}
\]
Thuận:
Nếu $AC \perp BD \Rightarrow BD \parallel CE \Rightarrow BC=DE$
$(1) \Rightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 8R^2$
Đảo:
Nếu $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 8R^2$ thì
$(1) \Rightarrow BC^2-DE^2=0 \Leftrightarrow BC=DE \Leftrightarrow BD \parallel CE \Leftrightarrow BD \perp AC$