Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tính tích phân: \[I = \int\limits_0^a {{x^2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} dx,\,\,a > 0} \]

[levanquy]

Đặt $x = atant \rightarrow dx = \frac{a}{cos^2x}dx$
Khi đó $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{a^4tan^2tdt}{cos^3t}=a^4\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2tdt}{cos^5t}$
Ta có: $ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dt}{cos^5t}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dt}{cos^3t}$ =...các tích phân còn lại là quen thuộc

[Scientists]

Bài này mình có cách khác không biết được không.
Có $I=\int_{0}^{a}x^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx$
$=\int_{0}^{a}\frac{x^{2}(x^{2}+a^{2})}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx$
Đến đây sử dụng tích phân từng phần:
$\left\{\begin{matrix} u=x(x^{2}+a^{2}) & \\ v'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u'=3x^{2}+a^{2} & \\ v= \sqrt{x^{2}+a^{2}}& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow I=x(x^{2}+a^{2}).\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int_{0}^{a}(3x^{2}+a^{2})(\sqrt{x^{2}+a^{2}})dx$
$\Leftrightarrow 4I= x(x^{2}+a^{2}).\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a^{2}\int_{0}^{a}\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx$
Đến đây thì quen thuộc rùi ak. Cái tích phân từng phần em không biết gõ cái thẳng thẳng, nhờ Mod sửa dùm.