Chủ đề này có 2 trả lời

[25081997]

CMR nếu đa thức : $P(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

[NLT]

SOLUTION:
Dễ thấy x=0 không là nghiệm.
Với $x \ne 0$ thì:
${x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over {{x^2}}} + b\left( {x + {1 \over x}} \right) + c = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} + b\left( {x + {1 \over x}} \right) + c - 2 = 0$
Do đó, để P(x) có nghiệm thì pt trên có nghiệm.
Dễ thấy: $x + {1 \over x} \ge 2 hoặc x + {1 \over x} \le - 2$
Bây giờ, ta giải quyết trường hợp $x + {1 \over x} \ge 2$
Đặt $m = x + {1 \over x} - 2$ thì $m \ge 0$ và $x + {1 \over x} = m + 2$
Thế vào (*) ta được:${\left( {m + 2} \right)^2} + b\left( {m + 2} \right) + c - 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {m^2} + \left( {b + 4} \right)m + 2b + c + 2 = 0$
Ta cần tìm điều kiện b,c để pt trên có ít nhất một nghiệm không âm.
---------------
Tới đây đơn giản rồi, bạn giải tiếp nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 11-05-2012 - 11:58

[NLT]

CMR nếu đa thức : $P(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

Ai có cách giải khác không ?
---------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 11-05-2012 - 22:37