Chủ đề này có 9 trả lời

[datkjlop9a2hVvMF]

1/a/$thu gọn: S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$
b/P=$\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}$
2/cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa $a\leq b\leq c\leq d$ và a+d=b+c:cm
a/$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ là tổng của 3 số chính phương
b/$bc\geq ad$
3/a/cho a,b là hai số thực thỏa 5a+b=22.Biết phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương.Hãy tìm hai nghiệm đó.
b/cho hai số thực sao cho x+y ,$x^{2}+y^{2} , x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên,Chứng minh $x^{3}+y^{3}$cũng là các số nguyên
4/Cho a,b là hai số thực sao cho $a^{3}+b^{3}=2$.chứng minh $0< a+b\leq 2$
tks nhìu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datkjlop9a2hVvMF: 14-05-2012 - 14:20

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1. Thu gọn:
$S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

Giải

ĐK: $a \neq b \neq c$
Ta có:
$S=\frac{- a}{(a-b)(c - a)}+\frac{- b}{(b-c)(a - b)}+\frac{- c}{(c-a)(b - c)}$

$S=\frac{-a(b - c) - b(c - a) - c(a - b)}{(a - b)(b - c)(c - a)} = 0$

Bài 3.
a, Cho a,b là hai số thực thỏa 5a + b = 22. Biết phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó.

Giải

Phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi:
$\Delta = a^2 - 4b = k^2 (k \in Z)$

$\Leftrightarrow a^2 - 4(22 - 5a) = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10)^2 - 188 = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10 + k)(a + 10 - k ) = 188 = 188.1 = (-188).(-1) = 94.2 = (-94)(-2) = 47.4 = (-47).(-4)$

Ta thấy:
$a + 10 - k + a + 10 + k = 2a + 20 \, \vdots \, 2$
Do đó:
$a + 10 + k$ và $a + 10 - k$ luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó, ta xét 4 TH:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 94\\a + 10 - k = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 2\\a + 10 - k = 94\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -94\\a + 10 - k = -2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -2\\a + 10 + k = -94\end{array}\right.\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = -46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\end{array}\right.$

Với $a = 38 \Rightarrow b = -168$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 4\\x = -42\end{array}\right.$
Với $a = - 58 \Rightarrow b = 312$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 52\\x = 6\end{array}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-05-2012 - 21:02

[ducthinh26032011]

1/$thu gọn: S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

Quy đồng:
$\frac{-[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)]}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

[ducthinh26032011]

3/a/cho a,b là hai số thực thỏa 5a+b=22.Biết phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương.Hãy tìm hai nghiệm đó.

$x_{1}+x_{2}=-a\Rightarrow a<0(a\in Z)$
$x_{1}x_{2}=b\Rightarrow b>0(b\in Z)$
Để $x_{1};x_{2}$ nguyên $\Rightarrow a^{2}-4b=x^{2}$
$\Rightarrow a^{2}-4(22-5a)=x^{2}$
$\Leftrightarrow (a+10-x)(a+10+x)=188$
$\Rightarrow a=-58(a<0)\Rightarrow b=312$
Tới đây đơn giản rồi.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 4. Cho a, b là hai số thực sao cho $a^{3}+b^{3}=2$. Chứng minh $0< a+b\leq 2$

Giải

Ta có:
$a^3 + b^3 = 2 \Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2$

Do $a^2 - ab + b^2 = (a - \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3b^2}{4} \geq 0$
Do đó, để $a^3 + b^3 = 2$ thì $a + b > 0$
Mặt khác, ta có:
$2 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = (a + b)[(a + b)^2 - 3ab]$
$ \geq (a + b)[(a + b)^2 - 3.\dfrac{(a + b)^2}{4}] = \dfrac{(a + b)^3}{4}$
(do $ab \leq \dfrac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow -3ab \geq -\dfrac{3(a + b)^2}{4}$)

$\Rightarrow a + b \leq \sqrt[3]{2.4} = 2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = 1$

Vì vậy, ta luôn có: $0 < a + b \leq 2$

P/S: Không ham hố gì chuyện Like hay Không Like nhưng mà cái post kia dài quá, nó chạy hơi lâu nên mình chuyển sang bài mới vậy! ^^

[tson1997]

Bài 4. Cho a, b là hai số thực sao cho $a^{3}+b^{3}=2$. Chứng minh $0< a+b\leq 2$

Giải

Ta có:
$a^3 + b^3 = 2 \Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2$

Do $a^2 - ab + b^2 = (a - \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3b^2}{4} \geq 0$
Do đó, để $a^3 + b^3 = 2$ thì $a + b > 0$
Mặt khác, ta có:
$2 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = (a + b)[(a + b)^2 - 3ab]$
$ \geq (a + b)[(a + b)^2 - 3.\dfrac{(a + b)^2}{4}] = \dfrac{(a + b)^3}{4}$
(do $ab \leq \dfrac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow -3ab \geq -\dfrac{3(a + b)^2}{4}$)

$\Rightarrow a + b \leq \sqrt[3]{2.4} = 2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = 1$

Vì vậy, ta luôn có: $0 < a + b \leq 2$

P/S: Không ham hố gì chuyện Like hay Không Like nhưng mà cái post kia dài quá, nó chạy hơi lâu nên mình chuyển sang bài mới vậy! ^^

Bài bất đẳng thức này giải đơn giản hơn cũng được mà:

* Phần a+b > 0 thì đúng như cách của bạn
* Phần $a+b \leq 2$ thì dùng pp cân = bậc nhanh hơn:
Trk hết,bđt cần cm tg đg:
$(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0$
(đúng)(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 14-05-2012 - 08:38

[tson1997]

Bài 2 nào:
a.Theo đề bài,ta có tồn tại $x \geq 0$ để: b=a+x
Vì a+d=b+c nên d=c+x
Ta có: $a^2+b^2+c^2+d^2= a^2+(a+x)^2+c^2+(c+x)^2=2a^2+2c^2+2x(a+c)+2x^2=((a+c)^2+2x(a+c)+x^2)+(a-c)^2+x^2 =(a+x+c)^2+(a-c)^2+x^2$ (ok)
b.Ta có: $bc=(a+x)(d-x)=ad+x(d-a)-x^2$
Việc chứng minh $bc \geq ad$ giờ chỉ quy về chứng minh
$x(d-a) \geq x^2 \Leftrightarrow d-a \geq x \Leftrightarrow d-a \geq d-c$ hay $a \leq c$ (hiển nhiên)

Vậy ta có đpcm

[tson1997]

Bài 3.b:
Vì : $(x+y)^2-(x^2+y^2) \in Z \Leftrightarrow 2xy \in Z$ (1)
Vì $(x^2+y^2) - (x^4+y^4) \in Z \Leftrightarrow 2x^2y^2 \in Z$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra xy nguyên
Mà $(x+y)(x^2+y^2) \in Z \Leftrightarrow x^3+y^3+xy(x+y) \in Z $
Vì xy;x+y nguyên nên từ đây ta có $x^3+y^3 \in Z$

[datkjlop9a2hVvMF]

Bài 3.b:
Vì : $(x+y)^2-(x^2+y^2) \in Z \Leftrightarrow 2xy \in Z$ (1)
Vì $(x^2+y^2) - (x^4+y^4) \in Z \Leftrightarrow 2x^2y^2 \in Z$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra xy nguyên
Mà $(x+y)(x^2+y^2) \in Z \Leftrightarrow x^3+y^3+xy(x+y) \in Z $
Vì xy;x+y nguyên nên từ đây ta có $x^3+y^3 \in Z$

cho mình hỏi tại sao =>ra được xy nguyên zậy.

[tson1997]

cho mình hỏi tại sao =>ra được xy nguyên zậy.

Đây nhé: Giả sử $2xy= a (a \in Z)$ thì $xy=\frac{a}{2} \Rightarrow 2x^2y^2=\frac{a^2}{2}$
Mà $2x^2y^2 \in Z$ nên $a^2 \vdots 2 \Rightarrow a \vdots 2 \Rightarrow xy=\frac{a}{2} \in Z$