đạo hàm : $y'=\frac{-1}{(x+1)^{2}}$
Tiệm cận đứng : x= -1
tiệm cận ngang : y = 1
=> giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(-1,1)$
phương trình tiếp tuyển của © tại điểm M có hoành độ $x_{0}$ là :
($\Delta$) : $y=\frac{-1}{(x_{0}+1)^{2}}(x-x_{0})+\frac{x_{0}+2}{x_{0}+1}$
<=>$x+y(x_{0}+1)^{2}-x_{0}^{2}-4x_{0}-2=0$
$d(I,\Delta )$=$d(I,\Delta )=\frac{|-1+(x_{0}+1)^{2}-x_{0}^{2}-4x_{0}-2|}{\sqrt{(x_{0}+1)^{4}+1}}$=$\frac{2|x_{0}+1|}{\sqrt{(x_{0}+1)^{4}+1}}$
xét $d^{2}=\frac{4(x_{0}+1)^{2}}{(x_{0}+1)^{4}+1}=\frac{4t}{t^{2}+1}$ với $t=(x_{0}+1)^{2}$ với t>0
xét hàm số $f(t)=\frac{4t}{t^{2}+1}=>f'(t)=\frac{-4t^{2}+1}{(t^{2}+1)^{2}}$
$f'(t)=0<=>-4t^{2}+1=0<=>t^{2}=\frac{1}{4}<=>t=\frac{1}{2}$ loại $t=-\frac{1}{2}$ do điều kiện t>0
lập bảng biến thiên thấy $f_{max}=\frac{8}{5}$ khi$t=\frac{1}{2}$
với $t=\frac{1}{2}$ => $(x_{0}+1)^{2}=\frac{1}{2}<=>x_{0}=-1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ hoặc $x_{0}=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}$
Đáp số của bài toán : có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
$(\Delta _{1})=x+\frac{1}{2}y+\frac{1-2\sqrt{2}}{2}$
$(\Delta _{2})=x+\frac{1}{2}y+\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$
Edited by hoangcuong12a3, 24-07-2012 - 14:00.
