Cho a, b, c là 3 số thực thuộc $[0; 1]$
. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq \frac{5}{2}$
$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq \frac{5}{2}$
Bắt đầu bởi Scientists, 14-05-2012 - 17:36
#1
Đã gửi 14-05-2012 - 17:36
Scientists
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Những gì chúng ta biết ngày hôm nay sẽ lỗi thời vào ngày hôm sau. Nếu chúng ta ngừng học thì chúng ta sẽ ngừng phát triển.
#2
Đã gửi 28-07-2012 - 21:30
duongvanhehe
-
- Thành viên
-
- 117 Bài viết
Trung sĩ
BĐT $\Leftrightarrow 2\sum a(1+ac)(1+ab)\leq 5(1+ab)(1+bc)(1+ca)\Leftrightarrow 2(a+b+c)+2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum ab(a+b)\leq 5(1+ab+bc+ca+a^{2}b^{2}c^{2}+abc(a+b+c))$Cho a, b, c là 3 số thực thuộc $[0; 1]$
. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq \frac{5}{2}$
Do $a,b,c\in [0,1]$ nên ta có:
$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\Rightarrow 1+ab+bc+ca\geq a+b+c+abc\geq a+b+c$
$a+b+c\leq 3;2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 2abc(a+b+c);2\sum ab(a+b)\leq 2\sum 2ab=4(ab+bc+ca)$
Cộng các BĐT trên lại ta có:$2(a+b+c)+2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum ab(a+b)\leq 1+ab+bc+ca+3+2abc(a+b+c)+4(ab+bc+ca)\leq 5(1+ab)(1+bc)(1+ca)$
$\Rightarrow \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leq \frac{5}{2}$
- Breathless yêu thích
FC.Fruit
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
