Chủ đề này có 11 trả lời

[BlackSelena]

Bài 1: : Bên trong hình tròn bán kính 3 có 10 điểm bất kì. CMR: luôn tìm đc 2 điểm trong chúng có khoảng cách < 2

Bài 2: Cho 10 điểm phân biệt trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong tam giác đều cạnh 2 cm. CMR: ta luôn tìm đc 3 điểm trong 10 điểm này là 3 đỉnh tam giác thoả mãn: Là tam giác có S ko vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$ cm2 ; có ít nhất 1 góc ko vượt quá $45^{o}$

Hình như bài 2 là trong HOMO Hà Nội

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 15-05-2012 - 22:04

[perfectstrong]

Gợi ý: Áp dụng Dirichlet. Hd tạo "chuồng"
Bài 1:
Xét (O;3) và 10 điểm bất kì trong đó.
Chia hình tròn đó thành 1 hình tròn (O;1) và 8 hình rẻ quạt bằng nhau như hình vẽ.

Bài 2: Vẽ các trung điểm của cạnh tam giác đã cho, nối các trung điểm lại.

[BlackSelena]

Nhờ lời gợi ý của anh Perfectstrong, mình xin phép được post lời giải bài 2:
Bài làm
- Ta có 4.2 + 1 < 10
$\Rightarrow$ có 1 tam giác chứa ít nhất 4 điểm (nhiều hơn cũng ko sao)
Dễ dàng tính được diện tích 4 tam giác là$\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy thêm 1 điểm ở trong 1 trong 4 tam giác đó, ta luôn tạo được 1 tam giác mới có góc tù ($> 90^{o}$).
$\Rightarrow$ tam giác tù ấy sẽ có 1 góc nhỏ hơn $45^{o}$
Có sai sót mọng mọi người góp ý "nhẹ nhàng" !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 16-05-2012 - 08:31

[Tru09]

Gợi ý: Áp dụng Dirichlet. Hd tạo "chuồng"
Bài 1:
Xét (O;3) và 10 điểm bất kì trong đó.
Chia hình tròn đó thành 1 hình tròn (O;1) và 8 hình rẻ quạt bằng nhau như hình vẽ.

Bài 2: Vẽ các trung điểm của cạnh tam giác đã cho, nối các trung điểm lại.

Theo em thì đề bài bị sai ở chỗ (O;3)
Nếu là cách điểm A,B,C,D,G,J,K,L,E,N thì đề bài bị sai
Cm sai:
$\angle COD = 45^{o}$
$\Rightarrow$ tam giác OMC vuông cân
$\Rightarrow$OM =2,1=CM *
$\Rightarrow$MD =0,9 *
$\Rightarrow$CD=2.2 >2 *
CM tương tự => A B C J K L cũng vậy
ED = 3 - 1 = 2 ( vẫn không bé hơn 2 )
LN và NE cũng vậy đều = 2 ( không bé hơn 2) $\Rightarrow$ Mười điểm ấy thỏa mãn đều >2 $\Rightarrow$ đề bài bị sai
Theo em , đề phải là bán kính 2,5 ( theo Blackselena nói)
THật vậy
Nếu 2 điểm ta luôn tìm được có Khoảng cách <2 là X và Y
$\Rightarrow$ Nếu chúng trong đường tròn tâm O bán kính 1 thì XY < 2 ( bên trong thôi , không ở rìa)
$\Rightarrow$ nếu XY tron 1 vành khăn có nhiều điểm ( e không biết gọi ntn ) )
Ta sẽ chứng minh XY < 2 bằng cách chứng minh khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm thuộc mảnh hình vành khằn nhỏ hơn 2.
Dê thấy EF < CD
ED = FC , EC = FD
nên khoảng cách lớn nhất là max{ FC, FD, CD}
Ta đã có FC = 2,5 -1 =1,5 < 2
CD chứng minh như trên và CD =1.8 <2 *
Cũng như thên, $OH= \frac {\sqrt {2}}{2}$
$\Rightarrow$ $HD = 2,5 - \frac {\sqrt {2}}{2} = \frac {5- \sqrt {2}}{2}$
$\Rightarrow$ FD=1,9 <2*
Vậy tồn tại 2 điểm có khoảng cách < 2 )
(*) dòng nào có dấu như vậy đều ra kq lẻ ( được làm tròn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 16-05-2012 - 15:05

[BlackSelena]

Theo em thì đề bài bị sai ở chỗ (O;3)
Nếu là cách điểm A,B,C,D,G,J,K,L,E,N thì đề bài bị sai
Cm sai:
$\angle COD = 45^{o}$
=> tam giác OMC vuông cân
=>OM =2,1=CM *
=>MD =0,9 *
=>CD=2.2 >2 *
CM tương tự => A B C J K L cũng vậy
ED = 3 - 1 = 2 ( vẫn không bé hơn 2 )
LN và NE cũng vậy đều = 2 ( không bé hơn 2)=> Mười điểm ấy thỏa mãn đều >2 => đề bài bị sai
Theo em , đề phải là bán kính 2,5 ( theo Blackselena nói)
THật vậy
Nếu 2 điểm ta luôn tìm được có Khoảng cách <2 là X và Y
=> Nếu chúng trong đường tròn tâm O bán kính 1 thì XY < 2 ( bên trong thôi , không ở rìa)
=> nếu XY tron 1 vành khăn có nhiều điểm ( e không biết gọi ntn ) )
Ta sẽ chứng minh XY < 2 bằng cách chứng minh khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm thuộc mảnh hình vành khằn nhỏ hơn 2.
Dê thấy EF < CD
ED = FC , EC = FD
nên khoảng cách lớn nhất là max{ FC, FD, CD}
Ta đã có FC = 2,5 -1 =1,5 < 2
CD chứng minh như trên và CD =1.8 <2 *
Cũng như thên, $OH= \frac {\sqrt {2}}{2}$
=>$HD = 2,5 - \frac {\sqrt {2}}{2} = \frac {5- \sqrt {2}}{2}$
=>$FD=1,9 <2$*
Vậy tồn tại 2 điểm có khoảng cách < 2 )
(*) dòng nào có dấu như vậy đều ra kq lẻ ( được làm tròn)

Cách tính cạnh ra nếu đi thi sẽ không được chấp nhận do không có độ chính xác và logic.

[Tru09]

Cách tính cạnh ra nếu đi thi sẽ không được chấp nhận do không có độ chính xác và logic.

Tớ lấy cách nè trong sách đấy(SGK chắc vậy nhưng tương tự thôi. ) $\Rightarrow$ vẫn dùng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-05-2012 - 18:56
Gõ $\LaTeX$ sai quy định

[BlackSelena]

Sửa lại bài cho bạn "Tru09", theo lời anh Perfectstrong là phải chính xác, mình xin c/m như sau:
Dễ thấy FE < OF
Áp dụng BĐT tam giác, ta có:
EC < FE + FC < 0.5 + 1.5 < 2
Và cũng dễ thấy CD < FC < 1.5
$\Rightarrow$ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 17-05-2012 - 14:11
Gõ $\LaTeX$ sai quy định

[BlackSelena]

Nhờ lời gợi ý của anh Perfectstrong, mình xin phép được post lời giải bài 2:
Bài làm
- Ta có 4.2 + 1 < 10
$\Rightarrow$ có 1 tam giác chứa ít nhất 4 điểm (nhiều hơn cũng ko sao)
Dễ dàng tính được diện tích 4 tam giác là$\frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy thêm 1 điểm ở trong 1 trong 4 tam giác đó, ta luôn tạo được 1 tam giác mới có góc tù ($> 90^{o}$).
$\Rightarrow$ tam giác tù ấy sẽ có 1 góc nhỏ hơn $45^{o}$
Có sai sót mọng mọi người góp ý "nhẹ nhàng" !

đây là bài giải sai, mình sẽ cố đưa ra lời giải đúng trong thời gian sớm nhất.

[Tru09]

đây là bài giải sai, mình sẽ cố đưa ra lời giải đúng trong thời gian sớm nhất.

Bài sai thì del đi ==" để lại làm người ta tưởng đúng =="
bài làm:
Chia tam giác làm 4 như gợi ý của anh Perferstrong:
ta cũng chứng minh được diện tích 1 trong 4 hinh tam giác đó < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
xét trong 1 tam giác nhỏ chứa 4 điểm đó
bất kỳ tam giác nào có đỉnh là 4 điểm đó đều có diện tích < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo bổ đề về góc bao , tồn tại 3 điểm A,B,C trong 4 điểm đã cho sao cho điểm còn lại D nằm bên trong $\angle ABC$
Nếu $\angle ABC \leq 90^o$ thì tồn tại trong các $\angle CBD , \angle ABD \leq \frac {90^o}{2} =45^o$.Nên có tam giác có góc $\leq 45^o$
Nếu $\angle ABC > 90^o$ thì xết $\delta ABC$, ta có $\angle A + \angle C <90^o$ nên tồn tại $\delta ABC$ có $\angle A$ hoặc$ \angle C < 45^o$

Vậy ta luôn tìm đc 3 điểm trong 10 điểm này là 3 đỉnh tam giác thoả mãn: Là tam giác có S ko vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{4}$ cm2 ; có ít nhất 1 góc ko vượt quá $45^o$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 18-05-2012 - 22:20

[Tru09]

Nếu không vượt quá là bé hơn ( theo em thế này thì đề bài sát hơn)
Chia tam giác làm 4 như gợi ý của anh Perferstrong:
ta cũng chứng minh được diện tích 1 trong 4 hinh tam giác đó < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo nguyên lý diricle thì sẽ có 1 tam giác nhỏ có chứa 5 điểm
xét trong 1 tam giác nhỏ chứa 5 điểm đó
bất kỳ tam giác nào có đỉnh là 5 điểm đó đều có diện tích < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo bổ đề về góc bao , tồn tại 3 điểm A,B,C trong 5 điểm đã cho sao cho điểm còn lại D,E nằm bên trong $\angle ABC$
Nếu $\angle ABC \leq 108^o$ thì tồn tại 1 trong $\angle ABD ,\angle DBE, \angle EBC \leq \frac {108^o}{3} =36^o <45^o$
vây sẽ có tam giác theo nhu cầu của đầu bài
Nếu $\angle ABC >108^o$ thì xét \delta ABC có : $\angle A + \angle C <72^o \rightarrow 1 trong 2 \angle A, \angle C <36^o <45^o$
vây sẽ có tam giác theo nhu cầu đầu bài .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 18-05-2012 - 22:30

[Tru09]

Bài sai thì del đi ==" để lại làm người ta tưởng đúng =="
bài làm:
Chia tam giác làm 4 như gợi ý của anh Perferstrong:
ta cũng chứng minh được diện tích 1 trong 4 hinh tam giác đó < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
xét trong 1 tam giác nhỏ chứa 4 điểm đó
bất kỳ tam giác nào có đỉnh là 4 điểm đó đều có diện tích < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo bổ đề về góc bao , tồn tại 3 điểm A,B,C trong 4 điểm đã cho sao cho điểm còn lại D nằm bên trong $\angle ABC$
Nếu $\angle ABC \leq 90^o$ thì tồn tại trong các $\angle CBD , \angle ABD \leq \frac {90^o}{2} =45^o$.Nên có tam giác có góc $\leq 45^o$
Nếu $\angle ABC > 90^o$ thì xết $\delta ABC$, ta có $\angle A + \angle C <90^o$ nên tồn tại $\delta ABC$ có $\angle A$ hoặc$ \angle C < 45^o$

Vậy ta luôn tìm đc 3 điểm trong 10 điểm này là 3 đỉnh tam giác thoả mãn: Là tam giác có S ko vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{4}$ cm2 ; có ít nhất 1 góc ko vượt quá $45^o$

Nếu không vượt quá là bé hơn ( theo em thế này thì đề bài sát hơn)
Chia tam giác làm 4 như gợi ý của anh Perferstrong:
ta cũng chứng minh được diện tích 1 trong 4 hinh tam giác đó < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo nguyên lý diricle thì sẽ có 1 tam giác nhỏ có chứa 5 điểm
xét trong 1 tam giác nhỏ chứa 5 điểm đó
bất kỳ tam giác nào có đỉnh là 5 điểm đó đều có diện tích < $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Theo bổ đề về góc bao , tồn tại 3 điểm A,B,C trong 5 điểm đã cho sao cho điểm còn lại D,E nằm bên trong $\angle ABC$
Nếu $\angle ABC \leq 108^o$ thì tồn tại 1 trong $\angle ABD ,\angle DBE, \angle EBC \leq \frac {108^o}{3} =36^o <45^o$
vây sẽ có tam giác theo nhu cầu của đầu bài
Nếu $\angle ABC >108^o$ thì xét \delta ABC có : $\angle A + \angle C <72^o \rightarrow 1 trong 2 \angle A, \angle C <36^o <45^o$
vây sẽ có tam giác theo nhu cầu đầu bài .

Sr , tại bài ban trên sai ngay từ chỗ đấy nên bài mình cũng sai

[Tru09]

Bài làm đúng nè các bạn
Ta lấy giao điểm 3 đương phân giác là O
các tam giác được chia ra có S=$\frac {\sqrt{3}}{4}$ ( không vượt quá )
Theo nguyên lý ddirricle , luôn có 1 tam giác dược chia ra có chứa 4 điểm do : 3*3+1 =10
Xét tam giác đó
Theo bổ đề về góc bao , tồn tại 3 điểm A,B,C trong 4 điểm đã cho sao cho điểm còn lại D nằm bên trong $\angle ABC$
Nếu $\angle ABC \leq 90^o$ thì tồn tại trong các $\angle CBD , \angle ABD \leq \frac {90^o}{2} =45^o$.Nên có tam giác có góc $\leq 45^o$
Nếu $\angle ABC > 90^o$ thì xết $\delta ABC$, ta có $\angle A + \angle C <90^o$ nên tồn tại $\delta ABC$ có $\angle A$ hoặc$ \angle C < 45^o$

Vậy ta luôn tìm đc 3 điểm trong 10 điểm này là 3 đỉnh tam giác thoả mãn: Là tam giác có S ko vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{4}$ cm2 ; có ít nhất 1 góc ko vượt quá $45^o$