Chủ đề này có 4 trả lời

[tranvandung19972012]

Cho x,y,z > 0 và x + y + z + $\sqrt{xyz}$ = 4
Tính: A = $\sqrt{x(4-y)(4-z)}$ + $\sqrt{y(4-z)(4-x)}$ + $\sqrt{z(4-x)(4-y)}$ + $\sqrt{xyz}$

[nthoangcute]

Bài này trong một đề thi HSG nào đó !
_______________________________________________
Xét $x(4-y)(4-z)=x(yz-4y-4z+16)=xyz-4x(y+z)+16x=(x+y+z-4)^2-4x(y+z)+16x=(x-y-z+4)^2$
Suy ra $\sqrt{x(4-y)(4-z)}=|x-y-z+4|=x-y-z+4$ (vì $x+4=x+x+y+z+\sqrt{xyz}>y+z$)
CMTT rồi cộng vào
Suy ra $A=x-y-z+4+y-z-x+4+z-x-y+4+\sqrt{xyz}=12-x-y-z+\sqrt{xyz}$
Đến đây mình nghĩ là đề sai

[nthoangcute]

Đề đúng đấy bạn, mình cũng hỏi cô rùi ...

Để mình kiểm tra coi:
Đề 100% sai:
Khi $x=1$, $y=1$, $z=1$ thì $A=10$
Khi $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$, $z=\frac{9}{4}$
Khi đó $A=\frac{19}{2}$

[nthoangcute]

Thế này thì chỉ biết bó tau chịu trói thui ak, có ai biết đề thì sửa mình với

Đề là như sau:

Cho x,y,z > 0 và x + y + z + $\sqrt{xyz}$ = 4
Tính: A = $\sqrt{x(4-y)(4-z)}$ + $\sqrt{y(4-z)(4-x)}$ + $\sqrt{z(4-x)(4-y)} - \sqrt{xyz}$

[nthoangcute]

Giải như sau:
_______________________________________________
Xét $x(4-y)(4-z)=x(yz-4y-4z+16)=xyz-4x(y+z)+16x=(x+y+z-4)^2-4x(y+z)+16x=(x-y-z+4)^2$
Suy ra $\sqrt{x(4-y)(4-z)}=|x-y-z+4|=x-y-z+4$ (vì $x+4=x+x+y+z+\sqrt{xyz}>y+z$)
CMTT rồi cộng vào
Suy ra $A=x-y-z+4+y-z-x+4+z-x-y+4-\sqrt{xyz}=12-x-y-z-\sqrt{xyz}=12-4=8$