Chủ đề này có 7 trả lời

[hola0905]

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

[NLT]

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

SOLUTION:

Hệ đã cho tương đương:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^2} - xy = m + 6 \\
2\left( {x + y} \right) + xy = m \\
\end{array} \right.$
Đặt $S = x + y;P = xy$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - P = m + 6\left( 1 \right) \\
2S + P = m\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow P = m - 2S$
Thế vào $(1)$, ta được:
$\Leftrightarrow {S^2} + 2S - \left( {2m + 6} \right) = 0$.
Để hệ pt đã cho có nghiệm thực duy nhất thì pt trên có 1 nghiệm, tức nó sẽ có nghiệm kép.
P/S: Đến đây thì đơn giản rồi nhé, bạn tìm điều kiện để pt trên có nghiệm kép bằng cách xét delta là OK
--------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-05-2012 - 20:43

[T M]

Bài này phải giải theo điều kiện cần và đủ thì phải, sau khi làm như trên thì phải làm cả đk đủ nữa.

[NLT]

Bài này phải giải theo điều kiện cần và đủ thì phải, sau khi làm như trên thì phải làm cả đk đủ nữa.

Bạn có thể trình bày được chứ, theo mình thì như vậy là OK rồi ?
----------

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

Giải

Đây là hệ đối xứng loại 1.
Do đó, nếu phương trình có một nghiệm $(x_0; y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(y_0; x_0)$.
Vì vậy, hệ nói trên có nghiệm thực duy nhất khi $x = y$

Khi đó, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}3x^2 = m + 6\\x^2 + 4x = m\end{array}\right.$

Điều kiện để hệ nói trên có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}m + 6 \geq 0\\2^2 + m \geq 0\\\pm\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 \pm \sqrt{m + 4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 - \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + 2= \sqrt{m + 4}\\2 = \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + \sqrt{m + 4}\\\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = 2 + \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} 2\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = \dfrac{m - 3}{3} \,\,\, (1)\\-\dfrac{2m + 3}{3} = \sqrt{\dfrac{(m + 6)(m + 4)}{3}} \,\,\, (2)\\-\dfrac{m + 9}{3} = 2\sqrt{m + 4} \,\,\, (3)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq 3\\m^2 - 18m - 63 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow m = 21$

$(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \leq \dfrac{-3}{2}\\m^2 - 18m - 63 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow m = -3$

$(3)$ vô nghiệm do $\forall \, m\geq - 4 \Rightarrow \dfrac{-m - 9}{3} < 0 \leq 2\sqrt{m + 4}$

Vậy $\left[\begin{array}{l} m = - 3\\m = 21\end{array}\right.$

* Với m = -3, hệ ban đầu tương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 3\\2x + xy + 2y = -3\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) = 0\\x^2 + xy + y^2 = 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x = - y\\x = -y - 2\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào hệ ban đầu, ta thấy không thỏa mãn có nghiệm thực duy nhất.

* Với m = 21, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27\\2x + 2y + xy = 21\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) - 48 = 0\\x^2 + xy + y^2 = 27\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27 \\\left[\begin{array}{l}x = -y - 8\\x = 6 - y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào, giải ra, ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 3.
Vậy với m = 21, hệ có nghiệm duy nhất!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bạn có thể trình bày được chứ, theo mình thì như vậy là OK rồi ?

Với một S duy nhất, một P duy nhất. Ta luôn có thể có 2 nghiệm khác nhau thỏa mãn phương trình:

$X^2 - SX + P = 0$

Do ở đây, vai trò của x và y như nhau nên trường hợp mà bạn xét không đủ dữ kiện để nói rằng, hệ có nghiệm duy nhất!

Bạn thử lại xem... Với $S = -1; P = \dfrac{-3}{2}$
Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

[NLT]

Với một S duy nhất, một P duy nhất. Ta luôn có thể có 2 nghiệm khác nhau thỏa mãn phương trình:

$X^2 - SX + P = 0$

Do ở đây, vai trò của x và y như nhau nên trường hợp mà bạn xét không đủ dữ kiện để nói rằng, hệ có nghiệm duy nhất!

Bạn thử lại xem... Với $S = -1; P = \dfrac{-3}{2}$
Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

Ồ, không, mình xây dựng pt bậc 2 với S, tức là chỉ có 1 S thỏa, bởi hệ chỉ có 1 nghiệm thực
------

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Ừ, chỉ có 1 nghiệm S thỏa mãn đề bài. Nên nó cũng chỉ có một nghiệm P thỏa mãn.
Ở đây người ta yêu cầu hệ có nghiệm duy nhất, tức là một cặp số (x; y) duy nhất chứ không phải một tổng x + y duy nhất.

Không liên quan nhiều đến bài này nhưng mà xem một chút nhé:
Chẳng hạn: Ta tìm được:
x + y = 6 là duy nhất (S = const ) nhưng...
có biết bao nhiêu cặp số thỏa mãn điều này? Có tới hàng ngàn, hàng triệu, hàng tỉ số thỏa mãn:
(0; 6); (6; 0); (5; 1); (4; 2); (3; 3)…….(1006; -1000)….
Các cặp số đó có tích khác nhau, do đó, ta cần phải cố định tích của chúng. Chẳng hạn tích của chúng là 5. Vậy bây giờ, có 2 cặp thỏa mãn điều này: (1; 5) và (5; 1)
Vì thế tích của chúng bằng 5 không thể giúp hệ ban đầu có cặp nghiệm duy nhất.
Với tích bằng 9, dễ thấy, chỉ có một nghiệm thỏa mãn đề bài là (x; y) = (3; 3). Vậy tích bằng 9 thỏa mãn yêu cầu.
Vậy thì làm sao bây giờ? Nếu không có một nghiệm S duy nhất thì chắc chắn là không thể có một cặp nghiệm duy nhất rồi !? Chẳng lẽ phải ăn may sao. Phải tìm được S duy nhất, tìm được một P thỏa mãn có nghiệm duy nhất. Đáng tiếc rằng, trên đời, chỉ có được vài ba bài toán hên như thế và có cả đống bài toán không thể làm điều này, cụ thể như bài toán ban đầu…

Nhớ rằng chúng ta bỏ quên mất một điều kiện là: Để tồn tại x, y thỏa mãn x + y = S; xy = P thì $S^2 \geq 4P$
Do đó, chẳng hạn ta tìm được 2 S phân biệt. Từ đó ta dễ dàng có 2 giá trị P.
Nhưng…chỉ có một cặp trong số đó thỏa mãn điều kiện: $S^2 \geq 4P$, cặp còn lại thì không! Đành ngậm ngùi dứt áo ra đi vậy J
Vì vậy, ta vẫn có quyền hi vọng rằng trong 2 cặp số nào đó. Có một cặp (S; P) cho nghiệm duy nhất (x; y) (Khi đó thì x = y) và cặp còn lại không thỏa mãn đề bài!

P/S: Chủ topic, bước thứ 2 kể từ chỗ: Điều kiện để hệ có nghiệm...Tớ đã bỏ đi (làm tắt) một trường hợp đấy .
Ai bảo vô nghiệm, nên tớ bỏ:
$\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} \geq 0 > -2 - \sqrt{m + 4}$